12. 如图，过直线$y = kx + \frac{1}{2}$上一点$P$作$PD ⊥ x$轴于点$D$，线段$PD$交函数$y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)$的图象于点$C$，点$C$为线段$PD$的中点，点$C$关于直线$y = x$的对称点$C'$的坐标为$(1,3)$。
(1) 求$k$，$m$的值；
(2) 求直线$y = kx + \frac{1}{2}$与函数$y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)$图象的交点坐标；
(3) 直接写出不等式$\frac{m}{x} ＞ kx + \frac{1}{2}(x ＞ 0)$的解集。

12. (1)$k = \frac{1}{2}, m = 3$ (2)$(2, \frac{3}{2})$ (3)$0 ＜ x ＜ 2$

(1) 解：
∵点$C$关于直线$y = x$的对称点$C'$的坐标为$(1,3)$，
∴点$C$的坐标为$(3,1)$。
∵点$C$在函数$y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)$的图象上，
∴$1 = \frac{m}{3}$，解得$m = 3$。
∵点$C$为线段$PD$的中点，$PD ⊥ x$轴，
∴点$P$的横坐标与点$C$相同为$3$，纵坐标为$2×1 = 2$，即$P(3,2)$。
∵点$P$在直线$y = kx + \frac{1}{2}$上，
∴$2 = 3k + \frac{1}{2}$，解得$k = \frac{1}{2}$。
(2) 解：由(1)知直线为$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$，函数为$y = \frac{3}{x}$。
联立方程$\begin{cases}y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \\ y = \frac{3}{x} \end{cases}$，
得$\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} = \frac{3}{x}$，
两边同乘$2x$得$x^2 + x = 6$，
即$x^2 + x - 6 = 0$，
因式分解得$(x + 3)(x - 2) = 0$，
解得$x = 2$或$x = -3$（舍去），
当$x = 2$时，$y = \frac{3}{2}$，
∴交点坐标为$(2, \frac{3}{2})$。
(3)$0 ＜ x ＜ 2$

13. 如图，点$A$，$B$在双曲线$y = \frac{k}{x}$上，$AC ⊥ x$轴于$C$，$BD ⊥ y$轴于$D$，$AC$交$BD$于点$P$。若$P$为$AC$的中点，且$△ ABP$的面积为$6$，求$k$的值。

13. $k = 24$

解：设点$A$的坐标为$(a,\frac{k}{a})$，其中$a＞0$，$k＞0$。
因为$AC ⊥ x$轴于$C$，所以点$C$的坐标为$(a,0)$。
由于$P$为$AC$的中点，所以点$P$的坐标为$(a,\frac{k}{2a})$。
因为$BD ⊥ y$轴于$D$，且$P$在$BD$上，所以点$B$的纵坐标为$\frac{k}{2a}$。
又因为点$B$在双曲线$y = \frac{k}{x}$上，所以点$B$的横坐标为$x = \frac{k}{y} = \frac{k}{\frac{k}{2a}} = 2a$，即点$B$的坐标为$(2a,\frac{k}{2a})$。
$AP$的长度为点$A$与点$P$纵坐标之差：$\frac{k}{a} - \frac{k}{2a} = \frac{k}{2a}$。
$BP$的长度为点$B$与点$P$横坐标之差：$2a - a = a$。
因为$△ ABP$的面积为$6$，且$AP ⊥ BP$，所以$\frac{1}{2} × AP × BP = 6$，即$\frac{1}{2} × \frac{k}{2a} × a = 6$。
化简得：$\frac{k}{4} = 6$，解得$k = 24$。
$24$

14. 如图，一次函数$y = mx + 5$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ≠ 0)$在第一象限的图象交于$A(1,n)$，$B(4,1)$两点，过点$A$作$y$轴的垂线，垂足为$M$。
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 求$△ OAM$的面积$S$；
(3) 在$y$轴上求一点$P$，使$PA + PB$最小。

14. (1)$y = -x + 5, y = \frac{4}{x}$ (2)$2$ (3)$P(0, \frac{17}{5})$

(1)将$B(4,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{4}$，解得$k=4$，故反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$。将$A(1,n)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$n=4$，即$A(1,4)$。将$A(1,4)$代入$y=mx+5$，得$4=m+5$，解得$m=-1$，故一次函数解析式为$y=-x+5$。
(2)因为$A(1,4)$，$AM$垂直于$y$轴，所以$M(0,4)$，$OM=4$，$AM=1$，则$S_{△ OAM}=\frac{1}{2}× OM× AM=\frac{1}{2}×4×1=2$。
(3)作点$A$关于$y$轴的对称点$A'(-1,4)$，连接$A'B$交$y$轴于点$P$，此时$PA+PB$最小。设直线$A'B$的解析式为$y=ax+b$，将$A'(-1,4)$，$B(4,1)$代入，得$\begin{cases}-a+b=4\\4a+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{5}\\b=\frac{17}{5}\end{cases}$，故直线$A'B$的解析式为$y=-\frac{3}{5}x+\frac{17}{5}$。令$x=0$，得$y=\frac{17}{5}$，所以$P(0,\frac{17}{5})$。