一、选择题
1. (2023·甘孜州)下列关于二次函数 $ y = (x - 2)^2 - 3 $ 的说法正确的是()
A.图像是一条开口向下的抛物线
B.图像与 $ x $ 轴没有交点
C.当 $ x ＜ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.图像的顶点坐标是 $ (2,-3) $

1.D

2. (2024·海门期中)将抛物线 $ y = (x - 1)^2 + 2 $ 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是()

A.$ (-1,5) $
B.$ (-1,-1) $
C.$ (3,-1) $
D.$ (3,5) $

2.C

原抛物线$y=(x - 1)^2 + 2$的顶点坐标为$(1,2)$。
向右平移2个单位长度，顶点的横坐标变为$1 + 2=3$，纵坐标不变，此时顶点坐标为$(3,2)$。
再向下平移3个单位长度，顶点的纵坐标变为$2-3=-1$，横坐标不变，得到新抛物线的顶点坐标为$(3,-1)$。
C

3. (2023·邵阳)已知 $ P_1(x_1,y_1) $，$ P_2(x_2,y_2) $ 是抛物线 $ y = ax^2 + 4ax + 3 $($ a $ 是常数，$ a ≠ 0 $)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线 $ x = -2 $；②点 $ (0,3) $ 在该抛物线上；③若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ -2 $，则 $ y_1 ＞ y_2 $；④若 $ y_1 = y_2 $，则 $ x_1 + x_2 = -2 $。其中，正确结论的个数为()

A.1
B.2
C.3
D.4

3.B

①抛物线对称轴为直线$x=-\frac{4a}{2a}=-2$，正确；
②当$x=0$时，$y=0+0+3=3$，点$(0,3)$在抛物线上，正确；
③因$a$正负未知，无法判断$x ＞ -2$时$y$随$x$的增减性，错误；
④若$y_1=y_2$，则$x_1$，$x_2$关于对称轴对称，$\frac{x_1+x_2}{2}=-2$，即$x_1+x_2=-4$，错误。
正确结论为①②，个数为2。

4. (2024·福建)已知二次函数 $ y = x^2 - 2ax + a(a ≠ 0) $ 的图像经过 $ A( \dfrac{a}{2},y_1 ) $，$ B(3a,y_2) $ 两点，则下列判断正确的是()

A.可以找到一个实数 $ a $，使得 $ y_1 ＞ a $
B.无论实数 $ a $ 取什么值，都有 $ y_1 ＞ a $
C.可以找到一个实数 $ a $，使得 $ y_2 ＜ 0 $
D.无论实数 $ a $ 取什么值，都有 $ y_2 ＜ 0 $

4.C

选项A、B分析：
将$x = \frac{a}{2}$代入$y = x^2 - 2ax + a$，得：
$\begin{aligned}y_1&=(\frac{a}{2})^2 - 2a · \frac{a}{2} + a\\&=\frac{a^2}{4} - a^2 + a\\&=-\frac{3a^2}{4} + a\end{aligned}$
若$y_1 ＞ a$，则：
$-\frac{3a^2}{4} + a ＞ a \implies -\frac{3a^2}{4} ＞ 0 \implies a^2 ＜ 0$
由于$a^2 ≥ 0$且$a ≠ 0$，故$y_1 ＞ a$无解，A、B错误。
选项C、D分析：
将$x = 3a$代入$y = x^2 - 2ax + a$，得：
$\begin{aligned}y_2&=(3a)^2 - 2a · 3a + a\\&=9a^2 - 6a^2 + a\\&=3a^2 + a\end{aligned}$
若$y_2 ＜ 0$，则：
$3a^2 + a ＜ 0 \implies a(3a + 1) ＜ 0$
解得$-\frac{1}{3} ＜ a ＜ 0$（$a ≠ 0$），存在实数$a$满足条件，C正确，D错误。
答案：C

二、填空题
5. (2024·锡山区期中)某个函数同时满足两个条件：①图像过点 $ (1,1) $，$ (2,4) $；②当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小. 这个函数表达式可以是.(只写出一个即可)

5.y = x²(答案不唯一)

$y = x^2$

6. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 米，水面下降 1 米时，水面的宽度为米.

6.2$\sqrt{6}$

以拱顶为原点，竖直向下为$y$轴正方向，水平方向为$x$轴建立直角坐标系。设抛物线方程为$y=ax^{2}$。
当水面宽$4$米时，水面离拱顶$2$米，此时水面上一点坐标为$(2,2)$，代入方程得$2=a×2^{2}$，解得$a=\frac{1}{2}$，故抛物线方程为$y=\frac{1}{2}x^{2}$。
水面下降$1$米后，此时$y=2 + 1=3$，代入方程$3=\frac{1}{2}x^{2}$，解得$x=\pm\sqrt{6}$，水面宽度为$2\sqrt{6}$米。
$2\sqrt{6}$

7. (2023·武进区一模)抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 的对称轴为直线 $ x = 1 $，且经过点 $ (-1,0) $. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + bx + c - t = 0 $($ t $ 为实数)在 $ -1 ＜ x ＜ 4 $ 的范围内有实数根，则 $ t $ 的取值范围是.

7.−4 ≤ t ＜ 5

∵抛物线$y = x^2 + bx + c$的对称轴为直线$x = 1$，
$\therefore -\frac{b}{2×1}=1$，解得$b=-2$。
∵抛物线经过点$(-1,0)$，
$\therefore (-1)^2 + (-2)×(-1) + c = 0$，即$1 + 2 + c = 0$，解得$c=-3$。
$\therefore$抛物线解析式为$y = x^2 - 2x - 3$。
$\because$一元二次方程$x^2 + bx + c - t = 0$在$-1 ＜ x ＜ 4$的范围内有实数根，
$\therefore$抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与直线$y = t$在$-1 ＜ x ＜ 4$的范围内有交点。
$\because y = x^2 - 2x - 3=(x - 1)^2 - 4$，
$\therefore$抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$。
当$x = -1$时，$y=(-1)^2 - 2×(-1)-3=1 + 2 - 3=0$；
当$x = 4$时，$y=4^2 - 2×4 - 3=16 - 8 - 3=5$。
$\because$在$-1 ＜ x ＜ 4$范围内，当$x = 1$时，$y$有最小值$-4$；当$x$趋近于$4$时，$y$趋近于$5$，
$\therefore t$的取值范围是$-4≤ t ＜ 5$。

8. (2024·通州区期中)如图，二次函数 $ y = -\dfrac{4}{9}x^2 + 4 $ 的图像与 $ y $ 轴交于点 $ A $，与 $ x $ 轴正半轴交于点 $ B $，点 $ P $ 在以点 $ A $ 为圆心，2 个单位长度为半径的圆上，$ Q $ 是 $ BP $ 的中点，连接 $ OQ $，则 $ OQ $ 的最小值为.

8.$\frac{3}{2}$