三、解答题
9. 请在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 $ y = x^2 - 4x + 1 $ 的大致图像，并解答下列问题：
(1) 抛物线的顶点坐标为；
(2) $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小的自变量 $ x $ 的取值范围是；
(3) 结合图像直接写出 $ y ≤ 1 $ 时 $ x $ 的取值范围；
(4) 结合图像直接写出 $ -2 ＜ x ＜ 4 $ 时 $ y $ 的取值范围.

9.解:二次函数y = x² - 4x + 1的大致图像如答图所示.
　　　　　　　　
　(1)(2,−3)　(2)x ＜ 2
　(3)当y ≤ 1时,x的取值范围为0 ≤ x ≤ 4.
　(4)当−2 ＜ x ＜ 4时,y的取值范围为−3 ≤ y ＜ 13.

10. (2024·遂宁)某酒店有 A，B 两种客房，其中 A 种 24 间，B 种 20 间. 若全部入住，一天营业额为 7200 元；若 A，B 两种客房均有 10 间入住，一天营业额为 3200 元.
(1) 求 A，B 两种客房每间定价分别是多少元？
(2) 酒店对 A 种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加 10 元，就会有一个房间空闲. 当 A 种客房每间定价为多少元时，A 种客房一天的营业额 $ W $ 最大，最大营业额为多少元？

10.解:(1)设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元，
　根据题意，得$\begin{cases}24x + 20y = 7200 \\ 10x + 10y = 3200 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 200 \\ y = 120 \end{cases}$.
　答:A，B两种客房每间定价分别是200元，120元.
　(2)设A种客房每间定价为m元，
　则$W = m(24 - \frac{m - 200}{10}) = - \frac{1}{10}(m - 220)^2 + 4840$.
∵$ - \frac{1}{10} ＜ 0$，
∴当m = 220时，W取最大值，最大值为4840.
　答:当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元.

11. 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，A，B 为 $ x $ 轴上两点，C 为 $ y $ 轴上一点，抛物线 $ y = mx^2 - 2mx - 3m(m ＜ 0) $ 经过 A，C，B 三点，D 是抛物线的顶点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
(2) 求证：$ S_{△ AOC} = \dfrac{1}{2}S_{△ BCD} $；
(3) 当 $ △ BCD $ 为直角三角形时，求 $ m $ 的值.

11.(1)解:y = mx² - 2mx - 3m = m(x - 3)(x + 1)，
　
∵m ≠ 0，
∴当y = 0时，x₁ = - 1，x₂ = 3，
　
∴A(-1,0)，B(3,0).
(2)证明:y = mx² - 2mx - 3m = m(x - 1)² - 4m，
　
∴顶点D的坐标为(1, - 4m).
　　当x = 0时，y = - 3m，
∴C(0, - 3m)，
　
∴OA = 1，OC = - 3m，OB = 3，
　
∴$S_{△ AOC} = \frac{1}{2}OA· OC = - \frac{3m}{2}$.
　　如答图，连接DO，
　　则$S_{△ BCD} = S_{△ OCD} + S_{△ OBD} - S_{△ BCO} = - \frac{1}{2}×3m×1 - \frac{1}{2}×3×4m + \frac{1}{2}×3×3m = - 3m = 2×(-\frac{3m}{2})$，
　　　　　　　　　　　　
　
∴$S_{△ AOC} = \frac{1}{2}S_{△ BCD}$.
(3)解:由(1),(2)知，D(1, - 4m)，C(0, - 3m)，B(3,0)，
　
∴$CD^2 = (0 - 1)^2 + (-3m + 4m)^2 = m^2 + 1$，
　　$DB^2 = (3 - 1)^2 + (0 + 4m)^2 = 16m^2 + 4$，
　　$BC^2 = (3 - 0)^2 + (0 + 3m)^2 = 9m^2 + 9$.
　　当△BCD为直角三角形时，分两种情况:
　　①当∠BCD = 90°时，有$CD^2 + BC^2 = BD^2$，即$m^2 + 1 + 9m^2 + 9 = 16m^2 + 4$，解得$m_1 = - 1$，$m_2 = 1$(舍去);
　　②当∠BDC = 90°时，有$CD^2 + DB^2 = BC^2$，即$m^2 + 1 + 16m^2 + 4 = 9m^2 + 9$，解得$m_3 = - \frac{\sqrt{2}}{2}$，$m_4 = \frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去).
　　综上，m = - 1或$m = - \frac{\sqrt{2}}{2}$时，△BCD为直角三角形.