2026年智慧学习导学练明天出版社八年级数学下册人教版第85页答案
7. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中 DE，BF 分别是 ∠ADC 和 ∠ABC 的角平分线，交 AB，CD 于点 E，F，连接 BD，EF.
(1)求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
(2)若 ∠A = 60°，AE = 2EB，AD = 4，求平行四边形 ABCD 的面积.

答案

7. (1) 由两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明 (2) 提示：过点 $D$ 作 $DG ⊥ AB$ 于点 $G$. $S_{□ ABCD} = 12\sqrt{3}$
8. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，DE ⊥ AC，BF ⊥ AC，垂足分别为 E，F，延长 DE，BF，分别交 AB 于点 H，交 BC 于点 G，若 AD // BC，AE = CF.
(1)求证：四边形 ABCD 为平行四边形.
(2)若 ∠DAH = ∠GBA，GF = 2，CF = 4，求 AD 的长.

答案

8. （1）证明：
$\because AD// BC，$$\therefore ∠ DAE=∠ BCF，$
$\because DE⊥ AC，$$BF⊥ AC，$$\therefore ∠ AED=∠ CFB=90°，$
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ DAE=∠ BCF\\AE=CF\\∠ AED=∠ CFB\end{array} ，$
$\therefore △ ADE≌△ CBF$（ASA），$\therefore AD=BC，$
又$\because AD// BC，$$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
（2）解：$\because ∠ DAH=∠ GBA，$$AD// BC，$$\therefore ∠ DAH=∠ GBC，$$\therefore ∠ GBA=∠ GBC，$
$\because BF⊥ AC，$$\therefore AB=BC，$$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AD=AB，$
$\because △ ADE≌△ CBF，$$\therefore DE=BF，$
$\because GF=2$,$CF=4，$$∠ CFG=90°，$
由$△ ADE∼△ BGF，$得$\frac{AD}{BG}=\frac{DE}{GF}，$又$DE=BF，$$BG=BC+CG=AD+\sqrt{CF^2+GF^2}，$
又$\because AE=CF=4，$$∠ AED=90°，$
在$Rt△ ADE$中，$DE=2，$
$\therefore AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}。$
1. 判定一个四边形是平行四边形的方法有哪些？

答案

1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2. 如图，点 $ D $，$ E $ 分别为 $ △ ABC $ 的边 $ AB $，$ AC $ 的中点，延长 $ DE $ 到点 $ F $，使 $ EF = DE $，连接 $ FC $.
(1) 求证：四边形 $ DBCF $ 是平行四边形.
(2) 由 (1) 所得结论可知：在 $ △ ABC $ 中，连接边 $ AB $，$ AC $ 的中点 $ D $，$ E $，所得的线段 $ DE $ 与边 $ BC $ 有何位置关系？又有何种数量关系？写出你的结论，并说明理由.

答案

(1) 证明：
∵ D，E 分别为 AB，AC 中点，
∴ AE = CE.
在△ADE 和△CFE 中，
DE = FE，∠AED = ∠CEF，AE = CE，
∴ △ADE ≌ △CFE (SAS).
∴ AD = CF，∠ADE = ∠F.
∴ CF // AB.
∵ D 为 AB 中点，
∴ AD = BD.
∴ BD = CF.
∵ BD // CF，
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形.
(2) 结论：DE // BC，DE = 1/2 BC.
理由：
∵ 四边形 DBCF 是平行四边形，
∴ DF // BC，DF = BC.
∵ DE = EF，
∴ DE = 1/2 DF = 1/2 BC.
∵ DF // BC，
∴ DE // BC.