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2. 比较$2^{77},3^{44},5^{33}$的大小。
答案
2.$2^{77}＞5^{33}＞3^{44}$
解析
【分析】
要比较这三个幂的大小，观察发现它们的指数77、44、33都有公因数11，因此可以利用幂的乘方的逆运算，将三个数转化为指数相同的幂，再通过比较底数的大小来确定幂的大小关系。具体思路为：先把每个幂的指数拆成11与另一个数的乘积，再根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，将它们转化为指数为11的形式，最后比较底数大小，底数越大，对应的幂就越大。
【解析】
利用幂的乘方的逆运算，将三个数转化为同指数幂：
$2^{77}=(2^7)^{11}=128^{11}$
$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$
$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$
因为$128＞125＞81$，根据“指数相同的正整数幂，底数越大，幂越大”，可得：
$128^{11}＞125^{11}＞81^{11}$
即$2^{77}＞5^{33}＞3^{44}$
【答案】
$2^{77}＞5^{33}＞3^{44}$
【知识点】
幂的乘方，有理数大小比较
【点评】
本题考查幂的乘方的逆用，当比较不同指数的正整数幂大小时，若指数存在公因数，可转化为同指数幂，通过比较底数大小来判断幂的大小，这种方法能有效简化比较过程，是幂的运算中常用的技巧。
【难度系数】
0.6
要比较这三个幂的大小，观察发现它们的指数77、44、33都有公因数11，因此可以利用幂的乘方的逆运算，将三个数转化为指数相同的幂，再通过比较底数的大小来确定幂的大小关系。具体思路为：先把每个幂的指数拆成11与另一个数的乘积，再根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，将它们转化为指数为11的形式，最后比较底数大小，底数越大，对应的幂就越大。
【解析】
利用幂的乘方的逆运算，将三个数转化为同指数幂：
$2^{77}=(2^7)^{11}=128^{11}$
$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$
$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$
因为$128＞125＞81$，根据“指数相同的正整数幂，底数越大，幂越大”，可得：
$128^{11}＞125^{11}＞81^{11}$
即$2^{77}＞5^{33}＞3^{44}$
【答案】
$2^{77}＞5^{33}＞3^{44}$
【知识点】
幂的乘方，有理数大小比较
【点评】
本题考查幂的乘方的逆用，当比较不同指数的正整数幂大小时，若指数存在公因数，可转化为同指数幂，通过比较底数大小来判断幂的大小，这种方法能有效简化比较过程，是幂的运算中常用的技巧。
【难度系数】
0.6
例3 李叔叔刚购置一套新房,其结构如图,他打算将厨房和卫生间铺地砖,其余部分铺木地板,请你帮他解决下面的问题:
(1)至少需要多少平方米的木地板?
(2)如果去年地砖的价格是$m$元$/m^{2}$,今年地砖的价格每平方米上涨了5元钱,那么李叔叔至少需要花多少钱买地砖?
思路导引
运用具体形状的面积公式,表示出其面积,根据整个图形的特点,将具体的“局部图形”的面积求和或差,计算出需要的面积即可。
归纳总结
运用面积“割补”法解决这类问题需要仔细审题,看需要求的是哪一块或哪几块的面积,并注意运算的正确性。
(1)至少需要多少平方米的木地板?
(2)如果去年地砖的价格是$m$元$/m^{2}$,今年地砖的价格每平方米上涨了5元钱,那么李叔叔至少需要花多少钱买地砖?
思路导引
运用具体形状的面积公式,表示出其面积,根据整个图形的特点,将具体的“局部图形”的面积求和或差,计算出需要的面积即可。
归纳总结
运用面积“割补”法解决这类问题需要仔细审题,看需要求的是哪一块或哪几块的面积,并注意运算的正确性。
答案
解：
(1) 计算整套房子的总面积：
$(a+2b)(3a+2) = 3a^2 + 2a + 6ab + 4b$
计算地砖的面积（厨房面积+卫生间面积）：
$ab + 2×2b = ab + 4b$
木地板的面积为：
$(3a^2 + 2a + 6ab + 4b) - (ab + 4b) = 3a^2 + 2a + 5ab$
(2) 今年地砖的价格为$(m+5)$元$/m^2$，买地砖的花费为：
$(ab + 4b)(m + 5) = abm + 5ab + 4bm + 20b$
答：(1) 至少需要$\boldsymbol{(3a^2+5ab+2a)}$平方米的木地板；
(2) 李叔叔至少需要花$\boldsymbol{(abm+5ab+4bm+20b)}$元买地砖。
(1) 计算整套房子的总面积：
$(a+2b)(3a+2) = 3a^2 + 2a + 6ab + 4b$
计算地砖的面积（厨房面积+卫生间面积）：
$ab + 2×2b = ab + 4b$
木地板的面积为：
$(3a^2 + 2a + 6ab + 4b) - (ab + 4b) = 3a^2 + 2a + 5ab$
(2) 今年地砖的价格为$(m+5)$元$/m^2$，买地砖的花费为：
$(ab + 4b)(m + 5) = abm + 5ab + 4bm + 20b$
答：(1) 至少需要$\boldsymbol{(3a^2+5ab+2a)}$平方米的木地板；
(2) 李叔叔至少需要花$\boldsymbol{(abm+5ab+4bm+20b)}$元买地砖。
解析
【分析】
1. 对于第(1)问，求木地板面积，可采用“总面积减地砖面积”的简便方法：先确定整套房屋的长为$(b+a)+b=a+2b$，宽为$a+2+2a=3a+2$，利用长方形面积公式算出房屋总面积；再分别计算厨房（长$b$宽$a$，面积$ab$）和卫生间（长$2b$宽$2$，面积$4b$）的面积，求和得到地砖总面积；最后用房屋总面积减去地砖总面积，即可得到木地板面积。
2. 对于第(2)问，先根据题意得出今年地砖单价为$(m+5)$元$/m^2$，再用地砖总面积乘以今年的单价，通过多项式乘法展开计算总花费。
【解析】
(1) ①计算整套房子的总面积：
房屋的长为$(b+a)+b=a+2b$，宽为$a+2+2a=3a+2$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得总面积为：
$(a+2b)(3a+2)=3a^2+2a+6ab+4b$
②计算地砖的面积（厨房面积+卫生间面积）：
厨房面积为$a×b=ab$，卫生间面积为$2×2b=4b$，因此地砖总面积为：
$ab+4b$
③计算木地板的面积：
木地板面积 = 房屋总面积 - 地砖总面积，即：
$(3a^2+2a+6ab+4b)-(ab+4b)=3a^2+2a+6ab+4b-ab-4b=3a^2+5ab+2a$
(2) ①确定今年地砖的单价：
今年地砖价格每平方米上涨5元，因此单价为$(m+5)$元$/m^2$
②计算买地砖的总花费：
总花费 = 地砖面积 × 今年单价，即：
$(ab+4b)(m+5)=ab×m+ab×5+4b×m+4b×5=abm+5ab+4bm+20b$
答：(1) 至少需要$\boldsymbol{(3a^2+5ab+2a)}$平方米的木地板；
(2) 李叔叔至少需要花$\boldsymbol{(abm+5ab+4bm+20b)}$元买地砖。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3a^2+5ab+2a}$平方米；
(2) $\boldsymbol{abm+5ab+4bm+20b}$元。
【知识点】
长方形面积公式、整式的加减、多项式乘多项式
【点评】
本题考查整式运算在实际生活中的应用，通过“割补法”求面积简化计算过程，解题时需准确分析图形各部分的长和宽，注意整式运算的准确性，提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
1. 对于第(1)问，求木地板面积，可采用“总面积减地砖面积”的简便方法：先确定整套房屋的长为$(b+a)+b=a+2b$，宽为$a+2+2a=3a+2$，利用长方形面积公式算出房屋总面积；再分别计算厨房（长$b$宽$a$，面积$ab$）和卫生间（长$2b$宽$2$，面积$4b$）的面积，求和得到地砖总面积；最后用房屋总面积减去地砖总面积，即可得到木地板面积。
2. 对于第(2)问，先根据题意得出今年地砖单价为$(m+5)$元$/m^2$，再用地砖总面积乘以今年的单价，通过多项式乘法展开计算总花费。
【解析】
(1) ①计算整套房子的总面积：
房屋的长为$(b+a)+b=a+2b$，宽为$a+2+2a=3a+2$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得总面积为：
$(a+2b)(3a+2)=3a^2+2a+6ab+4b$
②计算地砖的面积（厨房面积+卫生间面积）：
厨房面积为$a×b=ab$，卫生间面积为$2×2b=4b$，因此地砖总面积为：
$ab+4b$
③计算木地板的面积：
木地板面积 = 房屋总面积 - 地砖总面积，即：
$(3a^2+2a+6ab+4b)-(ab+4b)=3a^2+2a+6ab+4b-ab-4b=3a^2+5ab+2a$
(2) ①确定今年地砖的单价：
今年地砖价格每平方米上涨5元，因此单价为$(m+5)$元$/m^2$
②计算买地砖的总花费：
总花费 = 地砖面积 × 今年单价，即：
$(ab+4b)(m+5)=ab×m+ab×5+4b×m+4b×5=abm+5ab+4bm+20b$
答：(1) 至少需要$\boldsymbol{(3a^2+5ab+2a)}$平方米的木地板；
(2) 李叔叔至少需要花$\boldsymbol{(abm+5ab+4bm+20b)}$元买地砖。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3a^2+5ab+2a}$平方米；
(2) $\boldsymbol{abm+5ab+4bm+20b}$元。
【知识点】
长方形面积公式、整式的加减、多项式乘多项式
【点评】
本题考查整式运算在实际生活中的应用，通过“割补法”求面积简化计算过程，解题时需准确分析图形各部分的长和宽，注意整式运算的准确性，提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,时代中心有一个长方形场地,相邻两边的长度分别为$a$和$b(b＞a)$,计划从中划出边长为$\frac{a}{2}$的正方形作为草坪,再划出一个相邻的两边长分别为$\frac{a}{2}$和$(b-a)$的长方形作为花圃,求剩余部分的面积。
答案
3.$\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{2}ab$
解析
【分析】
要计算剩余部分的面积，可采用“总面积减去草坪面积再减去花圃面积”的思路：首先明确长方形和正方形的面积公式，分别表示出长方形场地的总面积、草坪（正方形）的面积、花圃（长方形）的面积，再通过整式的加减运算化简得出结果；也可将剩余部分分割为两个长方形，分别计算面积后求和，两种方法均可得到剩余面积。
【解析】
方法一：利用总面积减去各部分面积计算
1. 长方形场地的总面积：$S_{总}=a× b=ab$
2. 草坪（正方形）的面积：$S_{草坪}=(\frac{a}{2})^2=\frac{a^2}{4}$
3. 花圃（长方形）的面积：$S_{花圃}=\frac{a}{2}×(b-a)=\frac{ab}{2}-\frac{a^2}{2}$
4. 剩余部分的面积：
$\begin{aligned}S_{剩余}&=S_{总}-S_{草坪}-S_{花圃}\\&=ab - \frac{a^2}{4} - (\frac{ab}{2}-\frac{a^2}{2})\\&=ab - \frac{a^2}{4} - \frac{ab}{2} + \frac{a^2}{2}\\&=(ab - \frac{ab}{2}) + (-\frac{a^2}{4} + \frac{2a^2}{4})\\&=\frac{ab}{2} + \frac{a^2}{4}\\&=\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{2}ab\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{2}ab$
【知识点】
1. 长方形、正方形面积公式
2. 整式的加减运算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，考查整式加减在面积计算中的应用。解题关键是准确表示各部分图形的面积，计算时需注意去括号的符号变化和同类项的合并，通过不同思路均可得到结果，有助于提升数形结合的解题意识。
【难度系数】
0.8
要计算剩余部分的面积，可采用“总面积减去草坪面积再减去花圃面积”的思路：首先明确长方形和正方形的面积公式，分别表示出长方形场地的总面积、草坪（正方形）的面积、花圃（长方形）的面积，再通过整式的加减运算化简得出结果；也可将剩余部分分割为两个长方形，分别计算面积后求和，两种方法均可得到剩余面积。
【解析】
方法一：利用总面积减去各部分面积计算
1. 长方形场地的总面积：$S_{总}=a× b=ab$
2. 草坪（正方形）的面积：$S_{草坪}=(\frac{a}{2})^2=\frac{a^2}{4}$
3. 花圃（长方形）的面积：$S_{花圃}=\frac{a}{2}×(b-a)=\frac{ab}{2}-\frac{a^2}{2}$
4. 剩余部分的面积：
$\begin{aligned}S_{剩余}&=S_{总}-S_{草坪}-S_{花圃}\\&=ab - \frac{a^2}{4} - (\frac{ab}{2}-\frac{a^2}{2})\\&=ab - \frac{a^2}{4} - \frac{ab}{2} + \frac{a^2}{2}\\&=(ab - \frac{ab}{2}) + (-\frac{a^2}{4} + \frac{2a^2}{4})\\&=\frac{ab}{2} + \frac{a^2}{4}\\&=\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{2}ab\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{2}ab$
【知识点】
1. 长方形、正方形面积公式
2. 整式的加减运算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，考查整式加减在面积计算中的应用。解题关键是准确表示各部分图形的面积，计算时需注意去括号的符号变化和同类项的合并，通过不同思路均可得到结果，有助于提升数形结合的解题意识。
【难度系数】
0.8
例4 计算:
(1)$2(3-5a)^{2}-5(-7+3a)(3a+7)$;
(2)$2024^{2}-2022×2026$;
(3)$(x-2y-1)^{2}$;
(4)$(a-b+c)(a+b-c)$。
思路导引
运用平方差公式计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方;运用完全平方公式计算时,除了两数的平方和,还要再加上或减去它们积的2倍。并且注意公式中的字母除了代表单独的数、字母外,还可以代表单项式或多项式。
归纳总结
平方差公式和完全平方公式一般应用于计算,根据题目的特点选择相应的公式,使计算更加简便。在计算过程中,有时要根据整式的特点对其进行变形,在两个公式中注意其中的“整体思想”。
(1)$2(3-5a)^{2}-5(-7+3a)(3a+7)$;
(2)$2024^{2}-2022×2026$;
(3)$(x-2y-1)^{2}$;
(4)$(a-b+c)(a+b-c)$。
思路导引
运用平方差公式计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方;运用完全平方公式计算时,除了两数的平方和,还要再加上或减去它们积的2倍。并且注意公式中的字母除了代表单独的数、字母外,还可以代表单项式或多项式。
归纳总结
平方差公式和完全平方公式一般应用于计算,根据题目的特点选择相应的公式,使计算更加简便。在计算过程中,有时要根据整式的特点对其进行变形,在两个公式中注意其中的“整体思想”。
答案
例4.解:(1)$5a^2-60a+263$ (2)4
(3)$x^2-4xy+4y^2-2x+4y+1$
(4)$a^2-b^2+2bc-c^2$。
(3)$x^2-4xy+4y^2-2x+4y+1$
(4)$a^2-b^2+2bc-c^2$。
解析
【分析】
对于这四道整式计算题，需根据题目特征选择合适的乘法公式简化计算，具体思路如下：
1. 第(1)题：先对$(3-5a)^2$用完全平方公式展开，将$(-7+3a)(3a+7)$变形为$(3a-7)(3a+7)$后用平方差公式计算，最后去括号、合并同类项得到结果。
2. 第(2)题：观察到2022=2024-2，2026=2024+2，把原式转化为$2024^2-(2024-2)(2024+2)$，再用平方差公式简化计算。
3. 第(3)题：把$(x-2y-1)$拆成$[(x-2y)-1]$，先对整体用完全平方公式展开，再对$(x-2y)^2$再次运用完全平方公式，最后合并同类项。
4. 第(4)题：把$(b-c)$看作整体，将原式变形为$[a-(b-c)][a+(b-c)]$，先用平方差公式，再对$(b-c)^2$用完全平方公式展开，整理得到结果。
【解析】
(1) $2(3-5a)^{2}-5(-7+3a)(3a+7)$
$=2(9-30a+25a^2)-5[(3a)^2-7^2]$
$=18-60a+50a^2-5(9a^2-49)$
$=18-60a+50a^2-45a^2+245$
$=(50a^2-45a^2)-60a+(18+245)$
$=5a^2-60a+263$
(2) $2024^{2}-2022×2026$
$=2024^2-(2024-2)(2024+2)$
$=2024^2-(2024^2-2^2)$
$=2024^2-2024^2+4$
$=4$
(3) $(x-2y-1)^{2}$
$=[(x-2y)-1]^2$
$=(x-2y)^2-2(x-2y)×1+1^2$
$=x^2-4xy+4y^2-2x+4y+1$
(4) $(a-b+c)(a+b-c)$
$=[a-(b-c)][a+(b-c)]$
$=a^2-(b-c)^2$
$=a^2-(b^2-2bc+c^2)$
$=a^2-b^2+2bc-c^2$
【答案】
(1)$5a^2-60a+263$；(2)$4$；(3)$x^2-4xy+4y^2-2x+4y+1$；(4)$a^2-b^2+2bc-c^2$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题核心是借助“整体思想”将复杂整式转化为符合公式的形式，简化计算流程，同时要注意去括号时的符号变化以及合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.7
对于这四道整式计算题，需根据题目特征选择合适的乘法公式简化计算，具体思路如下：
1. 第(1)题：先对$(3-5a)^2$用完全平方公式展开，将$(-7+3a)(3a+7)$变形为$(3a-7)(3a+7)$后用平方差公式计算，最后去括号、合并同类项得到结果。
2. 第(2)题：观察到2022=2024-2，2026=2024+2，把原式转化为$2024^2-(2024-2)(2024+2)$，再用平方差公式简化计算。
3. 第(3)题：把$(x-2y-1)$拆成$[(x-2y)-1]$，先对整体用完全平方公式展开，再对$(x-2y)^2$再次运用完全平方公式，最后合并同类项。
4. 第(4)题：把$(b-c)$看作整体，将原式变形为$[a-(b-c)][a+(b-c)]$，先用平方差公式，再对$(b-c)^2$用完全平方公式展开，整理得到结果。
【解析】
(1) $2(3-5a)^{2}-5(-7+3a)(3a+7)$
$=2(9-30a+25a^2)-5[(3a)^2-7^2]$
$=18-60a+50a^2-5(9a^2-49)$
$=18-60a+50a^2-45a^2+245$
$=(50a^2-45a^2)-60a+(18+245)$
$=5a^2-60a+263$
(2) $2024^{2}-2022×2026$
$=2024^2-(2024-2)(2024+2)$
$=2024^2-(2024^2-2^2)$
$=2024^2-2024^2+4$
$=4$
(3) $(x-2y-1)^{2}$
$=[(x-2y)-1]^2$
$=(x-2y)^2-2(x-2y)×1+1^2$
$=x^2-4xy+4y^2-2x+4y+1$
(4) $(a-b+c)(a+b-c)$
$=[a-(b-c)][a+(b-c)]$
$=a^2-(b-c)^2$
$=a^2-(b^2-2bc+c^2)$
$=a^2-b^2+2bc-c^2$
【答案】
(1)$5a^2-60a+263$；(2)$4$；(3)$x^2-4xy+4y^2-2x+4y+1$；(4)$a^2-b^2+2bc-c^2$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题核心是借助“整体思想”将复杂整式转化为符合公式的形式，简化计算流程，同时要注意去括号时的符号变化以及合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.7
