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例1 计算:$(a-b)^{3}· (b-a)^{2}$。
思路导引
对于同底数幂的乘法,当底数互为相反数时,底数经过转化才能运用同底数幂的乘法的运算性质,底数变化时注意符号的变化。
归纳总结
当底数不同时,化不同为相同。
思路导引
对于同底数幂的乘法,当底数互为相反数时,底数经过转化才能运用同底数幂的乘法的运算性质,底数变化时注意符号的变化。
归纳总结
当底数不同时,化不同为相同。
答案
例1.(a-b)⁵
解析
【分析】
首先观察到两个幂的底数$(a-b)$和$(b-a)$互为相反数，无法直接运用同底数幂的乘法法则。根据“互为相反数的偶次幂相等”，可将$(b-a)^2$转化为$(a-b)^2$，使两个幂成为同底数幂，再依据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，即可完成计算。具体思考步骤：1. 判断底数关系：明确$(a-b)$与$(b-a)$互为相反数；2. 转化底数：利用偶次幂的非负性，将$(b-a)^2$转化为$(a-b)^2$；3. 运用法则计算：对同底数幂进行指数相加运算。
【解析】
$\begin{aligned}(a-b)^{3}· (b-a)^{2}&=(a-b)^{3}· (a-b)^{2}\\&=(a-b)^{3+2}\\&=(a-b)^{5}\end{aligned}$
【答案】
$(a-b)^{5}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法法则
2. 幂的符号性质
【点评】
本题核心是处理互为相反数的底数，需结合指数奇偶性转化底数，偶次幂下互为相反数的底数可转化为相同底数，再运用同底数幂乘法法则计算，要牢记符号变化规律，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
首先观察到两个幂的底数$(a-b)$和$(b-a)$互为相反数，无法直接运用同底数幂的乘法法则。根据“互为相反数的偶次幂相等”，可将$(b-a)^2$转化为$(a-b)^2$，使两个幂成为同底数幂，再依据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，即可完成计算。具体思考步骤：1. 判断底数关系：明确$(a-b)$与$(b-a)$互为相反数；2. 转化底数：利用偶次幂的非负性，将$(b-a)^2$转化为$(a-b)^2$；3. 运用法则计算：对同底数幂进行指数相加运算。
【解析】
$\begin{aligned}(a-b)^{3}· (b-a)^{2}&=(a-b)^{3}· (a-b)^{2}\\&=(a-b)^{3+2}\\&=(a-b)^{5}\end{aligned}$
【答案】
$(a-b)^{5}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法法则
2. 幂的符号性质
【点评】
本题核心是处理互为相反数的底数，需结合指数奇偶性转化底数，偶次幂下互为相反数的底数可转化为相同底数，再运用同底数幂乘法法则计算，要牢记符号变化规律，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
1. $(2x-3y)^{n}· (3y-2x)^{2n+1}$。
答案
1.$-(2x-3y)^{3n+1}$
解析
【分析】
首先观察到两个幂的底数$(2x-3y)$与$(3y-2x)$互为相反数，解题关键是将它们转化为相同底数，再利用同底数幂的乘法法则计算。具体思路：先把$(3y-2x)$变形为$-(2x-3y)$，由于指数$2n+1$是奇数，根据幂的符号法则，负数的奇次幂为负，因此$(3y-2x)^{2n+1}=-(2x-3y)^{2n+1}$；然后将原式转化为同底数幂相乘的形式，最后运用同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）计算出结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(2x-3y)^{n}· (3y-2x)^{2n+1}\\=&(2x-3y)^{n}· [-(2x-3y)]^{2n+1}\\=&(2x-3y)^{n}· [-(2x-3y)^{2n+1}]\\=&-[(2x-3y)^{n}· (2x-3y)^{2n+1}]\\=&-(2x-3y)^{n+2n+1}\\=&-(2x-3y)^{3n+1}\end{aligned}$
【答案】
$-(2x-3y)^{3n+1}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的符号法则
【点评】
本题主要考查互为相反数的幂的转化及同底数幂乘法法则的应用，需要重点注意指数的奇偶性对幂的符号的影响，当指数为奇数时，互为相反数的底数转化后幂的符号为负，这是解题的易错点，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.6
首先观察到两个幂的底数$(2x-3y)$与$(3y-2x)$互为相反数，解题关键是将它们转化为相同底数，再利用同底数幂的乘法法则计算。具体思路：先把$(3y-2x)$变形为$-(2x-3y)$，由于指数$2n+1$是奇数，根据幂的符号法则，负数的奇次幂为负，因此$(3y-2x)^{2n+1}=-(2x-3y)^{2n+1}$；然后将原式转化为同底数幂相乘的形式，最后运用同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）计算出结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(2x-3y)^{n}· (3y-2x)^{2n+1}\\=&(2x-3y)^{n}· [-(2x-3y)]^{2n+1}\\=&(2x-3y)^{n}· [-(2x-3y)^{2n+1}]\\=&-[(2x-3y)^{n}· (2x-3y)^{2n+1}]\\=&-(2x-3y)^{n+2n+1}\\=&-(2x-3y)^{3n+1}\end{aligned}$
【答案】
$-(2x-3y)^{3n+1}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的符号法则
【点评】
本题主要考查互为相反数的幂的转化及同底数幂乘法法则的应用，需要重点注意指数的奇偶性对幂的符号的影响，当指数为奇数时，互为相反数的底数转化后幂的符号为负，这是解题的易错点，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.6
例2 计算:
(1)已知$2^{x}=a,3^{x}=b$,求$6^{x}$;
(2)$-(-x^{2})^{3}· (-x^{3})^{2}$。
思路导引
积的乘方与幂的乘方的运算性质运用时,要时刻牢记乘方的意义。
归纳总结
运用积的乘方的运算性质时,底数的系数也要乘方,且注意符号,逆用积的乘方的运算性质也是解决问题的一种有效方法。
(1)已知$2^{x}=a,3^{x}=b$,求$6^{x}$;
(2)$-(-x^{2})^{3}· (-x^{3})^{2}$。
思路导引
积的乘方与幂的乘方的运算性质运用时,要时刻牢记乘方的意义。
归纳总结
运用积的乘方的运算性质时,底数的系数也要乘方,且注意符号,逆用积的乘方的运算性质也是解决问题的一种有效方法。
答案
例2.(1)ab (2)$x^{12}$
解析
【分析】
(1) 首先观察到6可拆分为2×3，因此可将$6^x$转化为$(2×3)^x$，再逆用积的乘方运算性质$a^n·b^n=(a·b)^n$，将其拆分为$2^x·3^x$，最后代入已知条件$2^x=a$，$3^x=b$即可求出结果。
(2) 这道题需要分步计算：先根据幂的乘方运算性质（底数不变，指数相乘）计算括号内的式子，同时注意负数乘方的符号规则；再根据同底数幂的乘法运算性质（底数不变，指数相加）计算最终结果，过程中要仔细处理符号，避免出错。
【解析】
(1) 逆用积的乘方运算性质：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$6^x=(2×3)^x=2^x·3^x$
已知$2^x=a$，$3^x=b$，代入得：
$6^x=ab$
(2) 先计算幂的乘方：
$(-x^2)^3=(-1)^3·(x^2)^3=-x^{2×3}=-x^6$
$(-x^3)^2=(-1)^2·(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$
则原式$=-(-x^6)·x^6=x^6·x^6$
再根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得：
$x^6·x^6=x^{6+6}=x^{12}$
【答案】
(1) $ab$；(2) $x^{12}$
【知识点】
积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的相关运算性质的综合运用，重点在于掌握积的乘方的逆用、幂的乘方及同底数幂乘法的运算规则，尤其要注意负数乘方的符号处理，是幂运算的基础题型，有助于巩固对幂运算性质的理解与应用。
【难度系数】
0.6
(1) 首先观察到6可拆分为2×3，因此可将$6^x$转化为$(2×3)^x$，再逆用积的乘方运算性质$a^n·b^n=(a·b)^n$，将其拆分为$2^x·3^x$，最后代入已知条件$2^x=a$，$3^x=b$即可求出结果。
(2) 这道题需要分步计算：先根据幂的乘方运算性质（底数不变，指数相乘）计算括号内的式子，同时注意负数乘方的符号规则；再根据同底数幂的乘法运算性质（底数不变，指数相加）计算最终结果，过程中要仔细处理符号，避免出错。
【解析】
(1) 逆用积的乘方运算性质：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$6^x=(2×3)^x=2^x·3^x$
已知$2^x=a$，$3^x=b$，代入得：
$6^x=ab$
(2) 先计算幂的乘方：
$(-x^2)^3=(-1)^3·(x^2)^3=-x^{2×3}=-x^6$
$(-x^3)^2=(-1)^2·(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$
则原式$=-(-x^6)·x^6=x^6·x^6$
再根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得：
$x^6·x^6=x^{6+6}=x^{12}$
【答案】
(1) $ab$；(2) $x^{12}$
【知识点】
积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的相关运算性质的综合运用，重点在于掌握积的乘方的逆用、幂的乘方及同底数幂乘法的运算规则，尤其要注意负数乘方的符号处理，是幂运算的基础题型，有助于巩固对幂运算性质的理解与应用。
【难度系数】
0.6
