6. 小明与小亮在做游戏时,两人各报一个整式,将小亮报的整式作为除式,小明报的整式作为被除式,要求商必须为 $2xy$。若小明报的整式是 $x^{3}y-2xy^{3}$,则小亮应报的整式是。

6.$\frac{1}{2}x^{2}-y^{2}$

【分析】
要解决这个问题，首先明确整式除法中各部分的关系：除式 = 被除式 ÷ 商。题目中已知被除式是$x^{3}y - 2xy^{3}$，商是$2xy$，所以我们只需要用被除式除以商，通过多项式除以单项式的法则计算出结果，就是小亮应报的整式。具体思考步骤：先列出除法算式，再将多项式的每一项分别除以单项式，最后把所得的商相加。
【解析】
根据整式除法的关系，除式 = 被除式 ÷ 商，因此小亮应报的整式为：
$\begin{aligned}&(x^{3}y - 2xy^{3}) ÷ 2xy\\=&x^{3}y ÷ 2xy - 2xy^{3} ÷ 2xy\\=&\frac{1}{2}x^{2} - y^{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2}x^{2}-y^{2}$
【知识点】
多项式除以单项式、整式除法
【点评】
本题考查整式除法的逆运算，核心是掌握多项式除以单项式的计算法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。计算时需注意系数的除法运算以及同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减），属于基础题型，注重对基本运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

7. (1)计算:$(3m^{3}n^{4}-6m^{4}n^{3})÷3m^{3}n^{3}$;
(2)$(5x^{3}y^{2}-4xy^{2})÷(-\frac{1}{2}y)$;
(3)$(a^{2}b-2ab^{2})÷b-(a-b)^{2}$;
(4)$(6x^{4}-8x^{3}+2x^{2})÷(-2x^{2})$;
(5)$(2x^{3}y^{3}-2x^{3}y+\frac{1}{8}x^{4}y)÷(\frac{1}{2}x^{3}y)$;
(6)$[x(x^{2}y^{2}-xy)-y(x^{2}-x^{3}y)]÷3x^{2}y$。

(1)$n-2m$ (2)$-10x^{3}y+8xy$ (3)$-b^{2}$
(4)$-3x^{2}+4x-1$ (5)$4y^{2}+\frac{1}{4}x-4$ (6)$\frac{2}{3}xy-\frac{2}{3}$

【分析】
这六道题均为整式的除法及混合运算问题，解题核心思路如下：
1. 对于多项式除以单项式的题目（如(1)(2)(4)(5)），依据“多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加”的法则计算，需注意系数运算、同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）及符号处理。
2. 对于含混合运算的题目（如(3)(6)），遵循整式混合运算顺序：先算乘方或括号内运算，再算除法，最后算加减。第(3)题先算多项式除以单项式，再展开完全平方公式，最后合并同类项；第(6)题先展开括号内整式乘法，合并同类项后再做除法，需注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 原式$=3m^{3}n^{4}÷3m^{3}n^{3} - 6m^{4}n^{3}÷3m^{3}n^{3}$
$=n - 2m$
(2) 原式$=5x^{3}y^{2}÷(-\frac{1}{2}y) - 4xy^{2}÷(-\frac{1}{2}y)$
$=5×(-2)x^{3}y^{2-1} - 4×(-2)xy^{2-1}$
$=-10x^{3}y + 8xy$
(3) 原式$=a^{2}b÷b - 2ab^{2}÷b - (a^{2}-2ab+b^{2})$
$=a^{2} - 2ab - a^{2} + 2ab - b^{2}$
$=-b^{2}$
(4) 原式$=6x^{4}÷(-2x^{2}) - 8x^{3}÷(-2x^{2}) + 2x^{2}÷(-2x^{2})$
$=-3x^{2} + 4x - 1$
(5) 原式$=2x^{3}y^{3}÷(\frac{1}{2}x^{3}y) - 2x^{3}y÷(\frac{1}{2}x^{3}y) + \frac{1}{8}x^{4}y÷(\frac{1}{2}x^{3}y)$
$=2×2y^{3-1} - 2×2 + \frac{1}{8}×2x^{4-3}$
$=4y^{2} - 4 + \frac{1}{4}x$
$=4y^{2}+\frac{1}{4}x - 4$
(6) 先计算括号内的整式乘法：
$x(x^{2}y^{2}-xy)=x^{3}y^{2}-x^{2}y$
$y(x^{2}-x^{3}y)=x^{2}y - x^{3}y^{2}$
括号内合并同类项：
$x^{3}y^{2}-x^{2}y - (x^{2}y - x^{3}y^{2})=x^{3}y^{2}-x^{2}y -x^{2}y +x^{3}y^{2}=2x^{3}y^{2}-2x^{2}y$
再进行除法运算：
原式$=(2x^{3}y^{2}-2x^{2}y)÷3x^{2}y$
$=2x^{3}y^{2}÷3x^{2}y - 2x^{2}y÷3x^{2}y$
$=\frac{2}{3}xy - \frac{2}{3}$
【答案】
(1)$n-2m$；(2)$-10x^{3}y+8xy$；(3)$-b^{2}$；(4)$-3x^{2}+4x-1$；(5)$4y^{2}+\frac{1}{4}x-4$；(6)$\frac{2}{3}xy-\frac{2}{3}$
【知识点】
多项式除以单项式、整式混合运算、完全平方公式
【点评】
本题围绕整式除法及混合运算展开，全面考查了多项式除以单项式的法则应用、同底数幂的除法运算以及整式混合运算的顺序。解题时需重点关注系数的运算（尤其是分数、负系数）、同底数幂的指数运算规则，以及去括号、合并同类项时的符号变化，是夯实整式运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.7

8. 先化简,再求值:$x(2xy-\frac{1}{2}xy^{2})-(14x^{3}y^{3}-7xy^{2})÷7xy^{2}$,其中 $x=2,y=-1$。

解:原式$=2x^{2}y-\frac{1}{2}x^{2}y^{2}-(2x^{2}y-1),$
$=2x^{2}y-\frac{1}{2}x^{2}y^{2}-2x^{2}y+1,$
$=-\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+1$。
当$x=2,y=-1$时,
原式$=-\frac{1}{2}×2^{2}×(-1)^{2}+1,$
$=-\frac{1}{2}×4×1+1,$
$=-2+1,$
$=-1$。

【分析】
这道题是整式的化简求值题，解题思路分为三步：
1. 先根据整式的运算法则分别计算乘法和除法部分：利用单项式乘多项式的分配律计算$x(2xy-\frac{1}{2}xy^{2})$，利用多项式除以单项式的分配律计算$(14x^{3}y^{3}-7xy^{2})÷7xy^{2}$；
2. 去括号，注意括号前是减号，去括号时括号内的每一项都要变号，然后合并同类项，将整式化简为最简形式；
3. 把$x=2,y=-1$代入化简后的式子，按照有理数的运算法则计算出最终结果。
【解析】
解:原式$=2x^{2}y-\frac{1}{2}x^{2}y^{2}-(2x^{2}y-1)$
$=2x^{2}y-\frac{1}{2}x^{2}y^{2}-2x^{2}y+1$
$=-\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+1$
当$x=2,y=-1$时,
原式$=-\frac{1}{2}×2^{2}×(-1)^{2}+1$
$=-\frac{1}{2}×4×1+1$
$=-2+1$
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 整式的混合运算
2. 代数式求值
【点评】
本题主要考查整式的混合运算及代数式求值，需要熟练掌握单项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则，去括号时要注意符号变化，代入求值时需准确计算乘方与乘法运算，属于基础题型，注重对运算基本功的考查。
【难度系数】
0.7

9. 在边长为$(3a+1)$的正方形纸片中剪下一个边长为$(a+1)$的正方形,将剩余部分剪拼成一个长方形,尺寸如图所示,则"?"表示的长度为()。


A.$2a+1$
B.$2a+2$
C.$2(a+2)$
D.$4a$

9.A

【分析】
本题可利用图形剪拼前后面积不变的原理求解。首先明确剩余部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，而剪拼后的长方形面积与剩余部分面积相等，已知长方形的一边长为$4a$，因此先计算出剩余部分的面积，再用面积除以$4a$即可得到“?”表示的长度。
【解析】
1. 计算大正方形的面积：
大正方形边长为$3a+1$，根据正方形面积公式，面积为$(3a+1)^2=9a^2+6a+1$。
2. 计算小正方形的面积：
小正方形边长为$a+1$，面积为$(a+1)^2=a^2+2a+1$。
3. 计算剩余部分的面积：
剩余部分面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积，即：
$(9a^2+6a+1)-(a^2+2a+1)=9a^2+6a+1-a^2-2a-1=8a^2+4a$。
4. 计算长方形未知边长：
因为长方形面积与剩余部分面积相等，且已知一边长为$4a$，根据长方形面积公式，未知边长为：
$(8a^2+4a)÷4a=8a^2÷4a + 4a÷4a=2a+1$。
【答案】
A
【知识点】
整式的运算；图形剪拼的面积不变性；平方差公式的应用
【点评】
本题核心是利用“剪拼前后图形面积不变”建立等量关系，既可以通过整式的加减乘除运算求解，也可利用平方差公式简化面积差的计算，考查了对整式运算的掌握和图形性质的理解，解题时需注意整式运算的准确性。
【难度系数】
0.6

10. 先化简,再求值:
$[(2x-y)^{2}-4(x-y)(x+y)]÷(-\frac{1}{2}y)$,
其中 $4x=5y$。
自我反思
存在的问题:

改进的措施:

10.$8x-10y,0$

【分析】
这道题需要先化简再求值，解题思路分为三步：
1. 先利用乘法公式展开中括号内的式子：用完全平方公式展开$(2x-y)^2$，用平方差公式展开$(x-y)(x+y)$，再完成乘法运算；
2. 合并中括号内的同类项，得到最简整式；
3. 将除法运算转化为乘法运算（除以$-\frac{1}{2}y$等价于乘以$-2/y$），化简得到最简式后，结合已知条件$4x=5y$，通过整体代入计算出最终结果。
【解析】
1. 展开中括号内的式子：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(2x-y)^2=4x^2-4xy+y^2$；
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可得$4(x-y)(x+y)=4(x^2-y^2)=4x^2-4y^2$。
2. 合并中括号内的同类项：
$[(2x-y)^2-4(x-y)(x+y)]=(4x^2-4xy+y^2)-(4x^2-4y^2)$
$=4x^2-4xy+y^2-4x^2+4y^2$
$=-4xy+5y^2$
3. 进行除法运算：
$(-4xy+5y^2)÷(-\frac{1}{2}y)=(-4xy+5y^2)×(-\frac{2}{y})$
$=(-4xy)×(-\frac{2}{y}) + 5y^2×(-\frac{2}{y})$
$=8x-10y$
4. 代入已知条件求值：
因为$4x=5y$，所以$8x=10y$，则$8x-10y=0$。
【答案】
$8x-10y$，$0$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算
【点评】
本题主要考查整式的化简求值，核心是熟练运用乘法公式进行整式的展开与化简，运算过程中需注意符号变化和运算顺序，最后通过整体代入已知条件简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7