4. 运用乘法公式计算:
(1)$(x+y)^{2}-(x-y)^{2}$;
(2)$(x+y-2)(x-y+2)$;
(3)$79.8×80.2$;
(4)$19.9^{2}$。

4.(1)4xy (2)$x^2-y^2+4y-4$ (3)6 399.96 (4)396.01

【分析】
本题主要考查乘法公式（完全平方公式、平方差公式）的灵活运用，解题思路如下：
1. 对于(1)，可选择两种方法：一是利用完全平方公式分别展开两个平方项，再合并同类项；二是将$(x+y)^2$和$(x-y)^2$看作平方差形式，用平方差公式$(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)$简化计算，第二种方法更高效。
2. 对于(2)，观察式子结构，将其变形为$[x+(y-2)][x-(y-2)]$，把$x$当作平方差公式中的$a$，$(y-2)$当作$b$，先运用平方差公式，再展开$(y-2)^2$的完全平方，最后整理结果。
3. 对于(3)，发现79.8=80-0.2，80.2=80+0.2，刚好符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，转化后计算能大幅简化运算。
4. 对于(4)，19.9接近20，可写成$20-0.1$，利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开计算，避免直接小数乘法的繁琐。
【解析】
(1) 方法一：完全平方公式展开法
$\begin{aligned}&(x+y)^2-(x-y)^2\\=&(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)\\=&x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2\\=&4xy\end{aligned}$
方法二：平方差公式法
$\begin{aligned}&(x+y)^2-(x-y)^2\\=&[(x+y)-(x-y)][(x+y)+(x-y)]\\=&(x+y-x+y)(x+y+x-y)\\=&2y×2x\\=&4xy\end{aligned}$
(2) 分组凑平方差公式计算：
$\begin{aligned}&(x+y-2)(x-y+2)\\=&[x+(y-2)][x-(y-2)]\\=&x^2-(y-2)^2\\=&x^2-(y^2-4y+4)\\=&x^2-y^2+4y-4\end{aligned}$
(3) 转化为平方差公式形式计算：
$\begin{aligned}&79.8×80.2\\=&(80-0.2)(80+0.2)\\=&80^2-0.2^2\\=&6400-0.04\\=&6399.96\end{aligned}$
(4) 转化为完全平方公式形式计算：
$\begin{aligned}&19.9^2\\=&(20-0.1)^2\\=&20^2-2×20×0.1+0.1^2\\=&400-4+0.01\\=&396.01\end{aligned}$
【答案】
(1)$4xy$；(2)$x^2-y^2+4y-4$；(3)$6399.96$；(4)$396.01$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、简便运算
【点评】
本题通过不同形式的题目，考查乘法公式的灵活运用，解题关键是根据式子特点选择合适的公式，将复杂运算转化为简单的整式或整数运算，提升计算效率与准确性，同时训练了观察式子结构、凑公式形式的能力。
【难度系数】
0.6

例5 已知$(x+y)^{2}=18,(x-y)^{2}=6$,分别求下列代数式的值:
(1)$x^{2}+y^{2}$; (2)$x^{2}+3xy+y^{2}$;
(3)$x^{4}+y^{4}$。
思路导引
由完全平方公式可求(1)、(2),注意将$x^{2}+y^{2},xy$看作整体求解,(3)中的式子可由完全平方式$(x^{2}+y^{2})^{2}$展开求得。
归纳总结
解题的关键是掌握完全平方公式,并加以灵活运用。

例5.解:因为$(x+y)^2=18,(x-y)^2=6$,
所以$x^2+y^2+2xy=18,x^2+y^2-2xy=6$,
所以$x^2+y^2=12,xy=3$,
(1)原式=12;
(2)原式=$12+3×3=21$;
(3)原式=$(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=12^2-2×3^2=126$。

【分析】
首先，我们观察到题目给出了两个完全平方形式的等式，解题核心是利用完全平方公式展开等式，通过整体运算求出$x^2+y^2$和$xy$的值，再将这两个整体代入待求代数式计算。具体思路如下：
1. 依据完全平方公式展开已知的两个等式，得到包含$x^2+y^2$和$xy$的两个方程；
2. 将两个展开后的等式相加，消去$xy$项，求出$x^2+y^2$的值；将两个等式相减，消去$x^2+y^2$项，求出$xy$的值；
3. 第(1)问直接使用求出的$x^2+y^2$的值即可；
4. 第(2)问把代数式变形为$(x^2+y^2)+3xy$，代入已求的整体值计算；
5. 第(3)问利用完全平方公式的变形，将$x^4+y^4$转化为$(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$，再代入数值计算。
【解析】
因为$(x+y)^2=18$，$(x-y)^2=6$，
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开得：
$x^2+y^2+2xy=18$ ①，
$x^2+y^2-2xy=6$ ②，
①+②得：$2(x^2+y^2)=18+6=24$，解得$x^2+y^2=12$；
①-②得：$4xy=18-6=12$，解得$xy=3$。
(1) 求$x^2+y^2$的值，由上述计算可知：
原式$=12$；
(2) 求$x^2+3xy+y^2$的值，将其变形为$(x^2+y^2)+3xy$，代入$x^2+y^2=12$，$xy=3$得：
原式$=12+3×3=21$；
(3) 求$x^4+y^4$的值，根据完全平方公式变形可得$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$，代入$x^2+y^2=12$，$xy=3$得：
原式$=12^2-2×3^2=144-18=126$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$；(2) $\boldsymbol{21}$；(3) $\boldsymbol{126}$
【知识点】
完全平方公式，整体代入法
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，通过将$x^2+y^2$和$xy$看作整体求解，简化了计算过程，有效考查了学生对公式变形的掌握能力和整体思维意识，是完全平方公式应用的典型考查题型。
【难度系数】
0.6

5. 若$a+\frac{1}{a}=3$,则$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$的值是()。

A.9
B.7
C.5
D.3

5.B

【分析】
要解决这道题，我们可以利用完全平方公式进行变形求解。观察已知条件$a+\frac{1}{a}=3$和所求式子$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$，发现对已知等式两边平方后，展开式中会包含$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$，因此我们可以通过这个思路来推导结果。具体步骤为：先对已知等式平方，再展开完全平方，最后通过移项计算出所求式子的值。
【解析】
已知$a+\frac{1}{a}=3$，对等式两边同时平方：
$(a+\frac{1}{a})^2=3^2$
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开左边：
$a^2 + 2· a·\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=9$
化简中间项$2· a·\frac{1}{a}=2$，可得：
$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}=9$
将常数项移到等式右边：
$a^2 + \frac{1}{a^2}=9 - 2=7$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式变形
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，需要学生熟练掌握完全平方公式的展开形式，并能根据已知条件和所求式子的特点，通过构造平方的方式进行转化计算，属于基础题型，有助于提升学生对公式变形的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8

1. 下列运算正确的是()。
A.$(-3)^{-2}=9$
B.$2^{4}÷2^{0}=8$
C.$(5×10^{3})×(4×10^{2})=2×10^{6}$
D.$(-2×10^{2})^{3}=8×10^{6}$

1.C

【分析】
要判断每个选项的运算是否正确，需运用负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的运算、积的乘方及科学记数法的相关规则逐一验证：
1. 对选项A，依据负整数指数幂的定义计算，判断结果是否为9；
2. 对选项B，先利用零指数幂的性质算出$2^0$，再根据同底数幂的除法法则计算结果；
3. 对选项C，按照单项式乘单项式的法则，先算系数相乘，再算同底数幂相乘，最后转化为科学记数法的标准形式；
4. 对选项D，根据积的乘方法则，分别对因式进行乘方运算，验证结果是否正确。
【解析】
选项A：根据负整数指数幂定义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}≠9$，故A错误；
选项B：由零指数幂性质$a^0=1(a≠0)$，得$2^0=1$，再根据同底数幂除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}(a≠0)$，计算$2^4÷2^0=16÷1=16≠8$，故B错误；
选项C：根据单项式乘法法则，先算系数相乘$5×4=20$，再算同底数幂相乘$10^3×10^2=10^{3+2}=10^5$，则$20×10^5=2×10^6$，故C正确；
选项D：依据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，计算$(-2×10^2)^3=(-2)^3×(10^2)^3=-8×10^6≠8×10^6$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂、同底数幂的运算、积的乘方
【点评】
本题考查幂的各类运算法则及科学记数法的乘法运算，熟练掌握运算法则，注意符号和指数的变化是解题关键，属于基础运算题。
【难度系数】
0.6

2. 现规定一种运算:$a\# b=ab+a-b$,其中$a,b$为有理数,则$a\# b+(b-a)\# b$等于()。
A.$a^{2}-b$ B.$b^{2}-b$
C.$b^{2}$ D.$b^{2}-a$

2.B

【分析】
首先需要理解题目规定的新运算规则：$a\# b=ab+a-b$，即对于任意有理数$a,b$，$a\# b$等于两数乘积加上第一个数再减去第二个数。解题思路是先分别计算$a\# b$和$(b-a)\# b$这两个部分，再将结果相加，通过整式的加减运算化简后，对比选项得出答案。具体步骤为：先代入新运算公式求出两部分的表达式，再去括号、合并同类项，最终得到化简后的结果。
【解析】
根据新运算$a\# b=ab+a-b$，分步计算：
1. 计算$a\# b$：
将$a$、$b$代入公式，得$a\# b=ab+a-b$；
2. 计算$(b-a)\# b$：
把$(b-a)$看作新运算中的$a$，$b$看作新运算中的$b$，代入公式得：
$\begin{aligned}(b-a)\# b&=(b-a)· b+(b-a)-b\\&=b^2 - ab + b - a - b\\&=b^2 - ab - a\end{aligned}$
3. 计算两部分的和：
$\begin{aligned}a\# b+(b-a)\# b&=(ab+a-b)+(b^2 - ab - a)\\&=ab+a-b+b^2 - ab - a\\&=b^2 - b\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、整式加减
【点评】
本题主要考查对新定义运算的理解和整式的加减运算能力。解题关键是准确代入新运算公式，在化简过程中注意去括号法则和合并同类项的规则，避免符号错误和计算失误。
【难度系数】
0.7

3. 若$(2a^{m}b^{m+n})^{3}=8a^{9}b^{15}$成立,则()。
A.$m=3,n=2$ B.$m=n=3$
C.$m=6,n=2$ D.$m=3,n=5$

3.A

【分析】
这道题需要利用幂的运算性质求解m和n的值。首先回忆积的乘方和幂的乘方法则：积的乘方是把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘；幂的乘方是底数不变，指数相乘。先将等式左边的式子根据法则展开，再根据等式两边相同底数的幂的指数相等的性质，列出关于m和n的方程，最后解方程组得到m、n的值，对应选项即可得出答案。
【解析】
1. 利用积的乘方和幂的乘方法则展开等式左边：
$\begin{aligned}(2a^{m}b^{m+n})^{3}&=2^3×(a^{m})^3×(b^{m+n})^3\\&=8a^{3m}b^{3(m+n)}\end{aligned}$
2. 已知等式$8a^{3m}b^{3(m+n)}=8a^{9}b^{15}$，根据“等式两边同底数幂的指数相等”，可得方程组：
$\begin{cases}3m=9\\3(m+n)=15\end{cases}$
3. 解第一个方程：$m=9÷3=3$
4. 将$m=3$代入第二个方程：
$\begin{aligned}3(3+n)&=15\\3+n&=5\\n&=2\end{aligned}$
因此$m=3$，$n=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方法则、幂的乘方法则、解简单方程组
【点评】
本题属于基础题型，主要考查幂的运算性质的应用。解题关键是熟练掌握积的乘方和幂的乘方法则，通过等式两边同底数幂指数相等建立方程求解，运算时需注意指数计算的准确性。
【难度系数】
0.8

4. 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式。给出以下4组图形及相应的代数恒等式:
①$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

②$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

③$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

④$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$

其中,图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有()。
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个

4.D

【分析】
要判断图形面积关系能否正确解释相应代数恒等式，需分别对每个恒等式，从“整体图形面积”和“分割/拼接后各部分面积之和”两个角度计算，对比两者是否相等：
1. 对于①，思考大正方形的两种面积计算方式：直接用边长平方计算，或分割成小正方形和长方形后求和；
2. 对于②，考虑边长为$a$的正方形减去两个长方形后，需补回多减的小正方形，对比剩余图形面积与$(a-b)^2$；
3. 对于③，通过割补法将长方形转化为正方形的差，验证两种面积计算结果是否一致；
4. 对于④，先通过代数运算验证等式成立，再结合图形理解大正方形面积减去四个矩形面积等于中间小正方形面积。
【解析】
我们逐个分析每组图形与恒等式：
1. ①$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$：
边长为$a+b$的大正方形面积为$(a+b)^2$；将其分割为1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长为$a$宽为$b$的长方形，总面积为$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2+2ab+b^2$，两者相等，图形面积可正确解释该恒等式。
2. ②$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$：
边长为$a$的正方形面积为$a^2$，减去2个长为$a$宽为$b$的长方形（面积和为$2ab$）后，多减了1个边长为$b$的正方形，需补回$b^2$，剩余图形面积为$a^2-2ab+b^2$；而剩余图形是边长为$a-b$的正方形，面积为$(a-b)^2$，两者相等，图形面积可正确解释该恒等式。
3. ③$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$：
长为$a+b$、宽为$a-b$的长方形面积为$(a+b)(a-b)$；通过割补可将该长方形转化为边长为$a$的正方形减去边长为$b$的正方形，面积为$a^2-b^2$，两者相等，图形面积可正确解释该恒等式。
4. ④$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$：
先通过代数运算验证：$(a+b)^2-4ab = a^2+2ab+b^2-4ab = a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$；从图形角度看，边长为$a+b$的大正方形面积为$(a+b)^2$，减去4个长为$a$宽为$b$的矩形（面积和为$4ab$），剩余图形为边长为$a-b$的正方形，面积为$(a-b)^2$，两者相等，图形面积可正确解释该恒等式。
综上，4组图形的面积关系都能正确解释相应的代数恒等式。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，数形结合验证恒等式
【点评】
本题通过数形结合的方式考查代数恒等式的验证，核心是理解图形面积的两种计算方式对应代数恒等式的左右两边，既巩固了完全平方公式、平方差公式的推导过程，又培养了用几何直观理解代数知识的能力。
【难度系数】
0.6