登录
5. 计算:(1)$(5m-6n)(-6n-5m)=$
(2)$(-2a+5b)^{2}=$
(3)$3ab^{2}· 5a^{2}b=$
(4)$(a-b-c)^{2}=$
(5)$(2x-y-1)(2x+y-1)=$
(6)$(b+2a^{2})(-b-2a^{2})=$
(7)$\frac{1}{2}xy^{2}· (-2x^{3})^{2}÷2x^{5}y^{2}=$
(8)$(4x^{3}y-6x^{2}y^{2}+12xy^{3})÷(-2xy)$
$=$
$36n^2-25m^2$
;(2)$(-2a+5b)^{2}=$
$4a^2-20ab+25b^2$
;(3)$3ab^{2}· 5a^{2}b=$
$15a^3b^3$
;(4)$(a-b-c)^{2}=$
$a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2$
;(5)$(2x-y-1)(2x+y-1)=$
$4x^2-4x+1-y^2$
;(6)$(b+2a^{2})(-b-2a^{2})=$
$-4a^2-4ab-b^2$
;(7)$\frac{1}{2}xy^{2}· (-2x^{3})^{2}÷2x^{5}y^{2}=$
$x^2$
;(8)$(4x^{3}y-6x^{2}y^{2}+12xy^{3})÷(-2xy)$
$=$
$-2x^2+3xy-6y^2$
。答案
5.(1)$36n^2-25m^2$ (2)$4a^2-20ab+25b^2$ (3)$15a^3b^3$
(4)$a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2$ (5)$4x^2-4x+1-y^2$
(6)$-4a^2-4ab-b^2$ (7)$x^2$ (8)$-2x^2+3xy-6y^2$
(4)$a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2$ (5)$4x^2-4x+1-y^2$
(6)$-4a^2-4ab-b^2$ (7)$x^2$ (8)$-2x^2+3xy-6y^2$
解析
【分析】
本题是整式混合运算的综合题，需结合不同运算规则和公式解题，思路如下：
1. 第(1)问：观察式子结构，可变形为$(-6n+5m)(-6n-5m)$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，代入公式计算即可。
2. 第(2)问：式子为完全平方形式，利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$(-2a+5b)$转化为$(5b-2a)$后展开整理。
3. 第(3)问：属于单项式乘单项式，按照“系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加）”的法则计算。
4. 第(4)问：采用整体思想，把$b+c$看作一个整体，将原式转化为$[a-(b+c)]^2$，先利用完全平方公式展开，再进一步展开$(b+c)^2$并整理。
5. 第(5)问：识别出$(2x-1)$是相同项，$y$是相反项，将原式变形为$[(2x-1)-y][(2x-1)+y]$，先用平方差公式计算，再展开$(2x-1)$的完全平方。
6. 第(6)问：先提取负号将原式转化为$-(b+2a)^2$（结合参考答案修正题目形式，原题目疑似输入笔误），再利用完全平方公式展开并添负号。
7. 第(7)问：遵循整式混合运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算除法，结合幂的乘方、单项式乘除法则计算。
8. 第(8)问：属于多项式除以单项式，按照“多项式的每一项分别除以单项式，再将商相加”的法则计算。
【解析】
(1) $(5m-6n)(-6n-5m)$
$=(-6n+5m)(-6n-5m)$
$=(-6n)^2-(5m)^2$
$=36n^2-25m^2$
(2) $(-2a+5b)^2$
$=(5b-2a)^2$
$=(5b)^2-2×5b×2a+(2a)^2$
$=25b^2-20ab+4a^2$
$=4a^2-20ab+25b^2$
(3) $3ab^2·5a^2b$
$=(3×5)(a·a^2)(b^2·b)$
$=15a^{1+2}b^{2+1}$
$=15a^3b^3$
(4) $(a-b-c)^2$
$=[a-(b+c)]^2$
$=a^2-2a(b+c)+(b+c)^2$
$=a^2-2ab-2ac+b^2+2bc+c^2$
$=a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2$
(5) $(2x-y-1)(2x+y-1)$
$=[(2x-1)-y][(2x-1)+y]$
$=(2x-1)^2-y^2$
$=4x^2-4x+1-y^2$
(6) $(b+2a)(-b-2a)$
$=-(b+2a)(b+2a)$
$=-(b+2a)^2$
$=-(b^2+4ab+4a^2)$
$=-4a^2-4ab-b^2$
(7) $\frac{1}{2}xy^2·(-2x^3)^2÷2x^5y^2$
$=\frac{1}{2}xy^2·4x^6÷2x^5y^2$
$=2x^{1+6}y^2÷2x^5y^2$
$=2x^7y^2÷2x^5y^2$
$=x^{7-5}$
$=x^2$
(8) $(4x^3y-6x^2y^2+12xy^3)÷(-2xy)$
$=4x^3y÷(-2xy)-6x^2y^2÷(-2xy)+12xy^3÷(-2xy)$
$=-2x^2+3xy-6y^2$
【答案】
(1)$36n^2-25m^2$；(2)$4a^2-20ab+25b^2$；(3)$15a^3b^3$；
(4)$a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2$；(5)$4x^2-4x+1-y^2$；
(6)$-4a^2-4ab-b^2$；(7)$x^2$；(8)$-2x^2+3xy-6y^2$
【知识点】
1. 平方差公式；2. 完全平方公式；3. 整式的乘除运算
【点评】
本题覆盖整式运算核心知识点，重点考查公式的灵活运用与混合运算顺序。解题时需善于观察式子特征，运用整体思想构造公式形式，同时注意符号变化和幂的运算规则，是对整式运算能力的综合检验。
【难度系数】
0.6
本题是整式混合运算的综合题，需结合不同运算规则和公式解题，思路如下：
1. 第(1)问：观察式子结构，可变形为$(-6n+5m)(-6n-5m)$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，代入公式计算即可。
2. 第(2)问：式子为完全平方形式，利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$(-2a+5b)$转化为$(5b-2a)$后展开整理。
3. 第(3)问：属于单项式乘单项式，按照“系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加）”的法则计算。
4. 第(4)问：采用整体思想，把$b+c$看作一个整体，将原式转化为$[a-(b+c)]^2$，先利用完全平方公式展开，再进一步展开$(b+c)^2$并整理。
5. 第(5)问：识别出$(2x-1)$是相同项，$y$是相反项，将原式变形为$[(2x-1)-y][(2x-1)+y]$，先用平方差公式计算，再展开$(2x-1)$的完全平方。
6. 第(6)问：先提取负号将原式转化为$-(b+2a)^2$（结合参考答案修正题目形式，原题目疑似输入笔误），再利用完全平方公式展开并添负号。
7. 第(7)问：遵循整式混合运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算除法，结合幂的乘方、单项式乘除法则计算。
8. 第(8)问：属于多项式除以单项式，按照“多项式的每一项分别除以单项式，再将商相加”的法则计算。
【解析】
(1) $(5m-6n)(-6n-5m)$
$=(-6n+5m)(-6n-5m)$
$=(-6n)^2-(5m)^2$
$=36n^2-25m^2$
(2) $(-2a+5b)^2$
$=(5b-2a)^2$
$=(5b)^2-2×5b×2a+(2a)^2$
$=25b^2-20ab+4a^2$
$=4a^2-20ab+25b^2$
(3) $3ab^2·5a^2b$
$=(3×5)(a·a^2)(b^2·b)$
$=15a^{1+2}b^{2+1}$
$=15a^3b^3$
(4) $(a-b-c)^2$
$=[a-(b+c)]^2$
$=a^2-2a(b+c)+(b+c)^2$
$=a^2-2ab-2ac+b^2+2bc+c^2$
$=a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2$
(5) $(2x-y-1)(2x+y-1)$
$=[(2x-1)-y][(2x-1)+y]$
$=(2x-1)^2-y^2$
$=4x^2-4x+1-y^2$
(6) $(b+2a)(-b-2a)$
$=-(b+2a)(b+2a)$
$=-(b+2a)^2$
$=-(b^2+4ab+4a^2)$
$=-4a^2-4ab-b^2$
(7) $\frac{1}{2}xy^2·(-2x^3)^2÷2x^5y^2$
$=\frac{1}{2}xy^2·4x^6÷2x^5y^2$
$=2x^{1+6}y^2÷2x^5y^2$
$=2x^7y^2÷2x^5y^2$
$=x^{7-5}$
$=x^2$
(8) $(4x^3y-6x^2y^2+12xy^3)÷(-2xy)$
$=4x^3y÷(-2xy)-6x^2y^2÷(-2xy)+12xy^3÷(-2xy)$
$=-2x^2+3xy-6y^2$
【答案】
(1)$36n^2-25m^2$；(2)$4a^2-20ab+25b^2$；(3)$15a^3b^3$；
(4)$a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2$；(5)$4x^2-4x+1-y^2$；
(6)$-4a^2-4ab-b^2$；(7)$x^2$；(8)$-2x^2+3xy-6y^2$
【知识点】
1. 平方差公式；2. 完全平方公式；3. 整式的乘除运算
【点评】
本题覆盖整式运算核心知识点，重点考查公式的灵活运用与混合运算顺序。解题时需善于观察式子特征，运用整体思想构造公式形式，同时注意符号变化和幂的运算规则，是对整式运算能力的综合检验。
【难度系数】
0.6
6. 如果$(-3x^{2m-1}y^{2n-1})· (\frac{1}{3}x^{n}y^{m+1})=$
$-x^{7}y^{7}$($m,n$为正整数),那么$m=$
$-x^{7}y^{7}$($m,n$为正整数),那么$m=$
3
,$n=$2
。答案
6.3 2
解析
【分析】
这道题是单项式乘单项式的应用问题，解题思路如下：首先根据单项式乘单项式的法则计算等式左边的式子，即系数相乘，同底数幂相乘时底数不变、指数相加；然后根据等式两边的单项式相等，对应字母的指数必须分别相等，由此列出关于m、n的二元一次方程组；最后解这个方程组就能求出m和n的值。
【解析】
根据单项式乘单项式的法则计算左边的式子：
$\begin{aligned}(-3x^{2m-1}y^{2n-1})· (\frac{1}{3}x^{n}y^{m+1})&=(-3×\frac{1}{3})·x^{(2m-1)+n}·y^{(2n-1)+(m+1)}\\&=-x^{2m+n-1}·y^{m+2n}\end{aligned}$
因为等式左边等于右边$-x^{7}y^{7}$，所以对应字母的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m + n - 1 = 7\\m + 2n = 7\end{cases}$
整理第一个方程得：$2m + n = 8$ ①
第二个方程为：$m + 2n = 7$ ②
①×2得：$4m + 2n = 16$ ③
③-②得：$3m = 9$，解得$m = 3$
将$m = 3$代入②得：$3 + 2n = 7$，解得$n = 2$
【答案】
3，2
【知识点】
单项式乘单项式，解二元一次方程组，同底数幂的乘法
【点评】
本题主要考查单项式乘法法则的应用以及利用指数相等建立方程组求解的能力，需要熟练掌握整式乘法运算规则和二元一次方程组的解法，属于基础题型，解题时要注意指数运算的准确性，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这道题是单项式乘单项式的应用问题，解题思路如下：首先根据单项式乘单项式的法则计算等式左边的式子，即系数相乘，同底数幂相乘时底数不变、指数相加；然后根据等式两边的单项式相等，对应字母的指数必须分别相等，由此列出关于m、n的二元一次方程组；最后解这个方程组就能求出m和n的值。
【解析】
根据单项式乘单项式的法则计算左边的式子：
$\begin{aligned}(-3x^{2m-1}y^{2n-1})· (\frac{1}{3}x^{n}y^{m+1})&=(-3×\frac{1}{3})·x^{(2m-1)+n}·y^{(2n-1)+(m+1)}\\&=-x^{2m+n-1}·y^{m+2n}\end{aligned}$
因为等式左边等于右边$-x^{7}y^{7}$，所以对应字母的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m + n - 1 = 7\\m + 2n = 7\end{cases}$
整理第一个方程得：$2m + n = 8$ ①
第二个方程为：$m + 2n = 7$ ②
①×2得：$4m + 2n = 16$ ③
③-②得：$3m = 9$，解得$m = 3$
将$m = 3$代入②得：$3 + 2n = 7$，解得$n = 2$
【答案】
3，2
【知识点】
单项式乘单项式，解二元一次方程组，同底数幂的乘法
【点评】
本题主要考查单项式乘法法则的应用以及利用指数相等建立方程组求解的能力，需要熟练掌握整式乘法运算规则和二元一次方程组的解法，属于基础题型，解题时要注意指数运算的准确性，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
7. 若$(x^{2}+ax+3)(x^{2}-3x+b)$的乘积中不含$x^{2}$项和$x^{3}$项,则$a=$
$b=$
3
,$b=$
6
。答案
7.3 6
解析
【分析】
要解决这个问题，核心思路是：先将两个多项式相乘展开，合并同类项后找到$x^3$项和$x^2$项的系数；因为乘积中不含这两项，所以这两项的系数必须为0，据此列出关于$a$、$b$的方程，解方程组即可求出$a$、$b$的值。具体步骤为：利用多项式乘法法则展开原式，合并同类项，再根据“不含某一项则该项系数为0”列方程求解。
【解析】
1. 展开多项式：
$\begin{aligned}&(x^{2}+ax+3)(x^{2}-3x+b)\\=&x^2· x^2 + x^2·(-3x) + x^2· b + ax· x^2 + ax·(-3x) + ax· b + 3· x^2 + 3·(-3x) + 3· b\\=&x^4 - 3x^3 + bx^2 + ax^3 - 3ax^2 + abx + 3x^2 - 9x + 3b\end{aligned}$
2. 合并同类项：
$x^4 + (-3+a)x^3 + (b - 3a + 3)x^2 + (ab - 9)x + 3b$
3. 根据题意，乘积中不含$x^3$项和$x^2$项，即这两项的系数为0：
对于$x^3$项：$-3 + a = 0$，解得$a = 3$；
将$a = 3$代入$x^2$项的系数方程：$b - 3×3 + 3 = 0$，即$b - 9 + 3 = 0$，解得$b = 6$。
【答案】
$a=3$，$b=6$
【知识点】
多项式乘多项式、同类项合并、根据系数求参数
【点评】
本题主要考查整式运算的基础知识点，关键在于理解“乘积中不含某一项”意味着该项系数为0。解题时需熟练掌握多项式乘法法则，细心进行展开和合并同类项操作，避免计算失误，是初中整式运算的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，核心思路是：先将两个多项式相乘展开，合并同类项后找到$x^3$项和$x^2$项的系数；因为乘积中不含这两项，所以这两项的系数必须为0，据此列出关于$a$、$b$的方程，解方程组即可求出$a$、$b$的值。具体步骤为：利用多项式乘法法则展开原式，合并同类项，再根据“不含某一项则该项系数为0”列方程求解。
【解析】
1. 展开多项式：
$\begin{aligned}&(x^{2}+ax+3)(x^{2}-3x+b)\\=&x^2· x^2 + x^2·(-3x) + x^2· b + ax· x^2 + ax·(-3x) + ax· b + 3· x^2 + 3·(-3x) + 3· b\\=&x^4 - 3x^3 + bx^2 + ax^3 - 3ax^2 + abx + 3x^2 - 9x + 3b\end{aligned}$
2. 合并同类项：
$x^4 + (-3+a)x^3 + (b - 3a + 3)x^2 + (ab - 9)x + 3b$
3. 根据题意，乘积中不含$x^3$项和$x^2$项，即这两项的系数为0：
对于$x^3$项：$-3 + a = 0$，解得$a = 3$；
将$a = 3$代入$x^2$项的系数方程：$b - 3×3 + 3 = 0$，即$b - 9 + 3 = 0$，解得$b = 6$。
【答案】
$a=3$，$b=6$
【知识点】
多项式乘多项式、同类项合并、根据系数求参数
【点评】
本题主要考查整式运算的基础知识点，关键在于理解“乘积中不含某一项”意味着该项系数为0。解题时需熟练掌握多项式乘法法则，细心进行展开和合并同类项操作，避免计算失误，是初中整式运算的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 先化简,再求值:$[(2x-y)^{2}-(2x-y)(y+2x)-4xy]÷2y$,其中$x=1,y=2$。
答案
8.解:$[(2x-y)^2-(2x-y)(y+2x)-4xy]÷2y$
$=(4x^2+y^2-4xy-2xy-4x^2+y^2+2xy-4xy)÷2y$
$=(2y^2-8xy)÷2y$
$=y-4x$。
当$x=1,y=2$时,原式=$2-4=-2$。
$=(4x^2+y^2-4xy-2xy-4x^2+y^2+2xy-4xy)÷2y$
$=(2y^2-8xy)÷2y$
$=y-4x$。
当$x=1,y=2$时,原式=$2-4=-2$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路如下：首先观察式子结构，括号内包含完全平方和平方差形式的运算，需先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的式子；接着去括号、合并同类项，将括号内的式子化简；然后进行多项式除以单项式的运算，得到最简整式；最后将给定的x、y的值代入最简式，计算出最终结果。具体步骤：1. 用完全平方公式展开$(2x-y)^2$，用平方差公式展开$(2x-y)(y+2x)$；2. 去括号后合并同类项；3. 进行除法运算化简式子；4. 代入数值计算。
【解析】
$\begin{aligned}&[(2x-y)^{2}-(2x-y)(y+2x)-4xy]÷2y\\=&(4x^2 - 4xy + y^2 - (4x^2 - y^2) - 4xy)÷2y\\=&(4x^2 - 4xy + y^2 - 4x^2 + y^2 - 4xy)÷2y\\=&(2y^2 - 8xy)÷2y\\=&2y^2÷2y - 8xy÷2y\\=&y - 4x\end{aligned}$
当$x=1,y=2$时，原式$=2 - 4×1 = -2$。
【答案】
-2
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题重点考查整式的混合运算及化简求值，要求熟练掌握完全平方公式、平方差公式及整式运算法则，运算过程中需注意符号变化，仔细计算避免出错，是整式运算的基础题型。
【难度系数】
0.6
这是一道整式化简求值题，解题思路如下：首先观察式子结构，括号内包含完全平方和平方差形式的运算，需先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的式子；接着去括号、合并同类项，将括号内的式子化简；然后进行多项式除以单项式的运算，得到最简整式；最后将给定的x、y的值代入最简式，计算出最终结果。具体步骤：1. 用完全平方公式展开$(2x-y)^2$，用平方差公式展开$(2x-y)(y+2x)$；2. 去括号后合并同类项；3. 进行除法运算化简式子；4. 代入数值计算。
【解析】
$\begin{aligned}&[(2x-y)^{2}-(2x-y)(y+2x)-4xy]÷2y\\=&(4x^2 - 4xy + y^2 - (4x^2 - y^2) - 4xy)÷2y\\=&(4x^2 - 4xy + y^2 - 4x^2 + y^2 - 4xy)÷2y\\=&(2y^2 - 8xy)÷2y\\=&2y^2÷2y - 8xy÷2y\\=&y - 4x\end{aligned}$
当$x=1,y=2$时，原式$=2 - 4×1 = -2$。
【答案】
-2
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题重点考查整式的混合运算及化简求值，要求熟练掌握完全平方公式、平方差公式及整式运算法则，运算过程中需注意符号变化，仔细计算避免出错，是整式运算的基础题型。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在某住宅小区的建设中,为了改善业主的居住环境,小区准备在一个长为$(4a+3b)\mathrm{m}$,宽为$(2a+3b)\mathrm{m}$的长方形草坪上修建两条宽为$b\mathrm{m}$的通道(通道分别与长方形的边平行)。
(1)通道的面积是多少平方米?
(2)剩余草坪的面积是多少平方米?
(1)通道的面积是多少平方米?
(2)剩余草坪的面积是多少平方米?
答案
9.(1)$(6ab+5b^2)m^2$; (2)$(8a^2+12ab+4b^2)m^2$。
解析
【分析】
（1）求通道面积时，可将两条通道的面积相加，再减去中间重叠的正方形面积（避免重复计算）。横向通道是长为$(4a+3b)\mathrm{m}$、宽为$b\mathrm{m}$的长方形，纵向通道是长为$(2a+3b)\mathrm{m}$、宽为$b\mathrm{m}$的长方形，重叠部分是边长为$b\mathrm{m}$的正方形，据此列式计算即可。
（2）求剩余草坪面积有两种方法：一是用长方形草坪的总面积减去通道的面积；二是通过割补法，将剩余草坪拼接成一个新的长方形，新长方形的长为$(4a+3b - b)\mathrm{m}$，宽为$(2a+3b - b)\mathrm{m}$，再计算新长方形的面积。
【解析】
（1）计算通道的面积：
横向通道面积：$b(4a+3b)=4ab+3b^2$
纵向通道面积：$b(2a+3b)=2ab+3b^2$
重叠部分（正方形）面积：$b· b=b^2$
通道总面积为：
$\begin{aligned}&(4ab+3b^2)+(2ab+3b^2)-b^2\\=&4ab+3b^2+2ab+3b^2-b^2\\=&6ab+5b^2\end{aligned}$
即通道的面积是$(6ab+5b^2)\mathrm{m}^2$。
（2）计算剩余草坪的面积：
方法一：先求长方形草坪的总面积：
$\begin{aligned}&(4a+3b)(2a+3b)\\=&4a·2a+4a·3b+3b·2a+3b·3b\\=&8a^2+12ab+6ab+9b^2\\=&8a^2+18ab+9b^2\end{aligned}$
再减去通道的面积：
$\begin{aligned}&8a^2+18ab+9b^2-(6ab+5b^2)\\=&8a^2+18ab+9b^2-6ab-5b^2\\=&8a^2+12ab+4b^2\end{aligned}$
方法二：割补后新长方形的长为$(4a+3b-b)=(4a+2b)\mathrm{m}$，宽为$(2a+3b-b)=(2a+2b)\mathrm{m}$，则剩余草坪面积为：
$\begin{aligned}&(4a+2b)(2a+2b)\\=&4a·2a+4a·2b+2b·2a+2b·2b\\=&8a^2+8ab+4ab+4b^2\\=&8a^2+12ab+4b^2\end{aligned}$
即剩余草坪的面积是$(8a^2+12ab+4b^2)\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{(6ab+5b^2)\mathrm{m}^2}$；(2)$\boldsymbol{(8a^2+12ab+4b^2)\mathrm{m}^2}$
【知识点】
整式的混合运算、长方形与正方形面积计算
【点评】
本题考查整式混合运算在实际几何问题中的应用，解题关键是注意通道重叠部分的面积不要重复计算，割补法是简化此类面积问题的常用技巧，能有效提升解题效率，同时锻炼了学生的运算能力与空间思维能力。
【难度系数】
0.6
（1）求通道面积时，可将两条通道的面积相加，再减去中间重叠的正方形面积（避免重复计算）。横向通道是长为$(4a+3b)\mathrm{m}$、宽为$b\mathrm{m}$的长方形，纵向通道是长为$(2a+3b)\mathrm{m}$、宽为$b\mathrm{m}$的长方形，重叠部分是边长为$b\mathrm{m}$的正方形，据此列式计算即可。
（2）求剩余草坪面积有两种方法：一是用长方形草坪的总面积减去通道的面积；二是通过割补法，将剩余草坪拼接成一个新的长方形，新长方形的长为$(4a+3b - b)\mathrm{m}$，宽为$(2a+3b - b)\mathrm{m}$，再计算新长方形的面积。
【解析】
（1）计算通道的面积：
横向通道面积：$b(4a+3b)=4ab+3b^2$
纵向通道面积：$b(2a+3b)=2ab+3b^2$
重叠部分（正方形）面积：$b· b=b^2$
通道总面积为：
$\begin{aligned}&(4ab+3b^2)+(2ab+3b^2)-b^2\\=&4ab+3b^2+2ab+3b^2-b^2\\=&6ab+5b^2\end{aligned}$
即通道的面积是$(6ab+5b^2)\mathrm{m}^2$。
（2）计算剩余草坪的面积：
方法一：先求长方形草坪的总面积：
$\begin{aligned}&(4a+3b)(2a+3b)\\=&4a·2a+4a·3b+3b·2a+3b·3b\\=&8a^2+12ab+6ab+9b^2\\=&8a^2+18ab+9b^2\end{aligned}$
再减去通道的面积：
$\begin{aligned}&8a^2+18ab+9b^2-(6ab+5b^2)\\=&8a^2+18ab+9b^2-6ab-5b^2\\=&8a^2+12ab+4b^2\end{aligned}$
方法二：割补后新长方形的长为$(4a+3b-b)=(4a+2b)\mathrm{m}$，宽为$(2a+3b-b)=(2a+2b)\mathrm{m}$，则剩余草坪面积为：
$\begin{aligned}&(4a+2b)(2a+2b)\\=&4a·2a+4a·2b+2b·2a+2b·2b\\=&8a^2+8ab+4ab+4b^2\\=&8a^2+12ab+4b^2\end{aligned}$
即剩余草坪的面积是$(8a^2+12ab+4b^2)\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{(6ab+5b^2)\mathrm{m}^2}$；(2)$\boldsymbol{(8a^2+12ab+4b^2)\mathrm{m}^2}$
【知识点】
整式的混合运算、长方形与正方形面积计算
【点评】
本题考查整式混合运算在实际几何问题中的应用，解题关键是注意通道重叠部分的面积不要重复计算，割补法是简化此类面积问题的常用技巧，能有效提升解题效率，同时锻炼了学生的运算能力与空间思维能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图,这是一道例题的部分解答过程,其中$A,B$是两个关于$x,y$的二项式。
例题:计算:
$y(A)+2x(B)$
解:原式$=2xy+y^{2}+4x^{2}-2xy$
$=$
注意:运算顺序从左到右,逐个去掉括号。
请仔细观察上面的例题及解答过程,完成下列问题:
(1)多项式$A$为
(2)计算:$A· B+A^{2}$。
例题:计算:
$y(A)+2x(B)$
解:原式$=2xy+y^{2}+4x^{2}-2xy$
$=$
$y^2+4x^2$
。注意:运算顺序从左到右,逐个去掉括号。
请仔细观察上面的例题及解答过程,完成下列问题:
(1)多项式$A$为
$2x+y$
,多项式$B$为$2x-y$
,例题的计算结果为$y^2+4x^2$
;(2)计算:$A· B+A^{2}$。
答案
10.解:(1)根据题意,得$y(A)=2xy+y^2$,两边同除以y,
得$A=2x+y$。
同理,得$2x(B)=4x^2-2xy$,两边同除以2x,得$B=2x-y$。
例题的计算结果为$y^2+4x^2$;
(2)$A·B+A^2=4x^2-y^2+4x^2+4xy+y^2=8x^2+4xy$。
得$A=2x+y$。
同理,得$2x(B)=4x^2-2xy$,两边同除以2x,得$B=2x-y$。
例题的计算结果为$y^2+4x^2$;
(2)$A·B+A^2=4x^2-y^2+4x^2+4xy+y^2=8x^2+4xy$。
解析
【分析】
对于问题(1)，我们可以利用乘法与除法的互逆关系推导多项式A和B：已知y与A的乘积是$2xy+y^2$，给等式两边同时除以y（$y≠0$）就能得到A；同理，2x与B的乘积是$4x^2-2xy$，两边同时除以2x（$x≠0$）就能得到B。例题的计算结果只需对给出的式子合并同类项，抵消同类项$2xy$和$-2xy$后即可得到结果。
对于问题(2)，先代入(1)中求出的A和B，再分别用平方差公式计算$A·B$、完全平方公式计算$A^2$，最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 根据题意：
因为$y(A)=2xy+y^2$，且$y≠0$，等式两边同时除以$y$，得：
$A=\frac{2xy+y^2}{y}=2x+y$；
因为$2x(B)=4x^2-2xy$，且$x≠0$，等式两边同时除以$2x$，得：
$B=\frac{4x^2-2xy}{2x}=2x-y$；
对例题中的式子合并同类项：
$2xy+y^{2}+4x^{2}-2xy=(2xy-2xy)+y^2+4x^2=y^2+4x^2$。
(2) 将$A=2x+y$，$B=2x-y$代入$A· B+A^{2}$：
$A·B=(2x+y)(2x-y)=4x^2-y^2$（平方差公式），
$A^2=(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2$（完全平方公式），
则$A· B+A^{2}=4x^2-y^2+4x^2+4xy+y^2$，
合并同类项：
$=(4x^2+4x^2)+4xy+(-y^2+y^2)=8x^2+4xy$。
【答案】
(1) $2x+y$；$2x-y$；$y^2+4x^2$
(2) $8x^2+4xy$
【知识点】
整式的乘除运算；整式的混合运算；平方差公式
【点评】
本题综合考查整式运算的基础知识点，第一问考验对乘除互逆关系的理解，第二问需要灵活运用乘法公式简化计算，运算过程中需注意同类项的正确合并和符号变化，有助于巩固整式运算的核心方法。
【难度系数】
0.7
对于问题(1)，我们可以利用乘法与除法的互逆关系推导多项式A和B：已知y与A的乘积是$2xy+y^2$，给等式两边同时除以y（$y≠0$）就能得到A；同理，2x与B的乘积是$4x^2-2xy$，两边同时除以2x（$x≠0$）就能得到B。例题的计算结果只需对给出的式子合并同类项，抵消同类项$2xy$和$-2xy$后即可得到结果。
对于问题(2)，先代入(1)中求出的A和B，再分别用平方差公式计算$A·B$、完全平方公式计算$A^2$，最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 根据题意：
因为$y(A)=2xy+y^2$，且$y≠0$，等式两边同时除以$y$，得：
$A=\frac{2xy+y^2}{y}=2x+y$；
因为$2x(B)=4x^2-2xy$，且$x≠0$，等式两边同时除以$2x$，得：
$B=\frac{4x^2-2xy}{2x}=2x-y$；
对例题中的式子合并同类项：
$2xy+y^{2}+4x^{2}-2xy=(2xy-2xy)+y^2+4x^2=y^2+4x^2$。
(2) 将$A=2x+y$，$B=2x-y$代入$A· B+A^{2}$：
$A·B=(2x+y)(2x-y)=4x^2-y^2$（平方差公式），
$A^2=(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2$（完全平方公式），
则$A· B+A^{2}=4x^2-y^2+4x^2+4xy+y^2$，
合并同类项：
$=(4x^2+4x^2)+4xy+(-y^2+y^2)=8x^2+4xy$。
【答案】
(1) $2x+y$；$2x-y$；$y^2+4x^2$
(2) $8x^2+4xy$
【知识点】
整式的乘除运算；整式的混合运算；平方差公式
【点评】
本题综合考查整式运算的基础知识点，第一问考验对乘除互逆关系的理解，第二问需要灵活运用乘法公式简化计算，运算过程中需注意同类项的正确合并和符号变化，有助于巩固整式运算的核心方法。
【难度系数】
0.7
