1. 已知 $3x = 2y = 5z ≠ 0$，求 $\frac{x + 2y + 3z}{x - y + z}$ 的值。

解：设$3x=2y=5z=k(k≠0)$，则可得：
$x=\frac{k}{3}$，$y=\frac{k}{2}$，$z=\frac{k}{5}$
将$x,y,z$代入$\frac{x+2y+3z}{x-y+z}$中：
分子部分：
$x+2y+3z=\frac{k}{3}+2×\frac{k}{2}+3×\frac{k}{5}=\frac{k}{3}+k+\frac{3k}{5}=\frac{5k}{15}+\frac{15k}{15}+\frac{9k}{15}=\frac{29k}{15}$
分母部分：
$x-y+z=\frac{k}{3}-\frac{k}{2}+\frac{k}{5}=\frac{10k}{30}-\frac{15k}{30}+\frac{6k}{30}=\frac{k}{30}$
因此原式为：
$\frac{\frac{29k}{15}}{\frac{k}{30}}=\frac{29k}{15}×\frac{30}{k}=58$
综上，$\frac{x + 2y + 3z}{x - y + z}$的值为$\boldsymbol{58}$。

设$3x = 2y = 5z = k(k ≠ 0)$，则$x = \frac{k}{3}$，$y = \frac{k}{2}$，$z = \frac{k}{5}$。
分子：$x + 2y + 3z = \frac{k}{3} + 2×\frac{k}{2} + 3×\frac{k}{5} = \frac{k}{3} + k + \frac{3k}{5} = \frac{5k}{15} + \frac{15k}{15} + \frac{9k}{15} = \frac{29k}{15}$。
分母：$x - y + z = \frac{k}{3} - \frac{k}{2} + \frac{k}{5} = \frac{10k}{30} - \frac{15k}{30} + \frac{6k}{30} = \frac{k}{30}$。
原式$= \frac{\frac{29k}{15}}{\frac{k}{30}} = \frac{29k}{15} × \frac{30}{k} = 58$。

2. 已知 $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$，求 $\frac{xy + yz + zx}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ 的值。

$\frac{47}{50}$

设$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = k$（$k ≠ 0$），则$x = 3k$，$y = 4k$，$z = 5k$。
$\begin{aligned}\frac{xy + yz + zx}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}&=\frac{(3k)(4k) + (4k)(5k) + (5k)(3k)}{(3k)^{2} + (4k)^{2} + (5k)^{2}}\\&=\frac{12k^{2} + 20k^{2} + 15k^{2}}{9k^{2} + 16k^{2} + 25k^{2}}\\&=\frac{47k^{2}}{50k^{2}}\\&=\frac{47}{50}\end{aligned}$

3. 若 $a - 3b = 0$，且 $a ≠ 0$，则 $\frac{a + b}{a - b}$ 的值为。

2

由 $a - 3b = 0$ 得 $a = 3b$，将 $a = 3b$ 代入 $\frac{a + b}{a - b}$，得 $\frac{3b + b}{3b - b} = \frac{4b}{2b} = 2$。

4. 已知 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 6$，求 $\frac{a - 3ab + b}{a + 12ab + b}$ 的值。

由$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 6$，
得$\frac{a + b}{ab} = 6$，
所以$a + b = 6ab$。
将$a + b = 6ab$代入$\frac{a - 3ab + b}{a + 12ab + b}$，
得$\frac{(a + b) - 3ab}{(a + b) + 12ab} = \frac{6ab - 3ab}{6ab + 12ab} = \frac{3ab}{18ab} = \frac{1}{6}$。
故答案为$\frac{1}{6}$。

5. 已知 $a + b = 3$，$ab = 2$，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值为()

A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.$-5$

B

由题意，可先将$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$进行通分，得到：
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$，
根据完全平方公式，有：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，
代入已知的$a + b = 3$和$ab = 2$，得到：
$a^2 + b^2 = 3^2 - 2 × 2 = 5$，
所以：
$\frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{5}{2}$。

6. 若 $3ab - 3b^{2} - 2 = 0$，则 $(1 - \frac{2ab - b^{2}}{a^{2}}) ÷ \frac{a - b}{a^{2}b}$ 的值为。

（此处假设题目为填空题，答案直接填数值）$\frac{2}{3}$

对原式进行化简：
$(1 - \frac{2ab - b^{2}}{a^{2}}) ÷ \frac{a - b}{a^{2}b}$
$=( \frac{a^{2}}{a^{2}} - \frac{2ab - b^{2}}{a^{2}} ) ÷ \frac{a - b}{a^{2}b}$
$= \frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a^{2}} ÷ \frac{a - b}{a^{2}b}$
因为$a^{2} - 2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，所以上式可化为：
$= \frac{(a - b)^{2}}{a^{2}} ÷ \frac{a - b}{a^{2}b}$
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，则有：
$= \frac{(a - b)^{2}}{a^{2}} × \frac{a^{2}b}{a - b}$
约分可得：
$= (a - b) × \frac{b}{1}=b(a - b)=ab - b^{2}$
由已知$3ab - 3b^{2} - 2 = 0$，移项可得$3ab - 3b^{2}=2$，两边同时除以$3$得：$ab - b^{2}=\frac{2}{3}$。
所以原式的值为$\frac{2}{3}$。