7. 若分式$\frac{1}{x - 1}□\frac{x}{x - 1}$化简后的结果为$-1$，则$□$内的运算符号为()

A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$

B

设□内的运算符号为$○$，根据题意，分式$\frac{1}{x - 1}○\frac{x}{x - 1}$化简后的结果为$-1$。
若$○$为加法，则$\frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} = \frac{x + 1}{x - 1} ≠ -1$；
若$○$为减法，则$\frac{1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{1 - x}{x - 1} = \frac{-(x - 1)}{x - 1} = -1$；
若$○$为乘法，则$\frac{1}{x - 1} × \frac{x}{x - 1} = \frac{x}{(x - 1)^{2}} ≠ -1$；
若$○$为除法，则$\frac{1}{x - 1} ÷ \frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x} ≠ -1$。
因此，只有减法满足条件。

8. 若$a＜0$，则分式$\frac{|a|}{1 - a}-\frac{1}{a - 1}$的值为.

(填题目的空白处答案数值）1（对应选项按原题顺序假设为A（若选项有1的话））

本题可根据绝对值的性质对$\vert a\vert$进行化简，再对分式进行通分，最后化简求值。
步骤一：根据$a＜0$化简$\vert a\vert$
已知$a＜0$，根据绝对值的性质：当$x＜0$时，$\vert x\vert=-x$，可得$\vert a\vert=-a$。
此时原式变为$\frac{-a}{1 - a}-\frac{1}{a - 1}$。
步骤二：对分式进行变形并通分
因为$a - 1=-(1 - a)$，所以$\frac{1}{a - 1}=\frac{1}{-(1 - a)}=-\frac{1}{1 - a}$。
则原式$\frac{-a}{1 - a}-\frac{1}{a - 1}=\frac{-a}{1 - a}-(-\frac{1}{1 - a})=\frac{-a}{1 - a}+\frac{1}{1 - a}$。
步骤三：根据同分母分式的加法法则进行计算
同分母分式相加，分母不变，分子相加，即$\frac{-a}{1 - a}+\frac{1}{1 - a}=\frac{-a + 1}{1 - a}=\frac{1 - a}{1 - a}$。
步骤四：化简结果
因为$1 - a≠0$（若$1 - a = 0$，则原式分母为$0$，分式无意义），所以$\frac{1 - a}{1 - a}=1$。

9. 先化简，再求值：$(\frac{2x - y}{x + y}-\frac{x^{2}-2xy + y^{2}}{x^{2}-y^{2}})÷\frac{x - y}{x + y}$，其中$x = (\frac{1}{2})^{-1}$，$y = (-2024)^{0}$.

解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&(\frac{2x - y}{x + y}-\frac{x^{2}-2xy + y^{2}}{x^{2}-y^{2}})÷\frac{x - y}{x + y}\\=&[\frac{2x - y}{x + y}-\frac{(x - y)^2}{(x + y)(x - y)}]·\frac{x + y}{x - y}\\=&(\frac{2x - y}{x + y}-\frac{x - y}{x + y})·\frac{x + y}{x - y}\\=&\frac{(2x - y)-(x - y)}{x + y}·\frac{x + y}{x - y}\\=&\frac{x}{x + y}·\frac{x + y}{x - y}\\=&\frac{x}{x - y}\end{aligned}$
计算$x$、$y$的值：
$x=(\frac{1}{2})^{-1}=2$，$y=(-2024)^0=1$，
代入化简后的式子：
$\frac{2}{2 - 1}=2$
综上，原式的值为$\boldsymbol{2}$。

化简过程：
1. 对原式括号内分式化简：
分母$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，分子$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$，则
$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2} = \frac{(x - y)^2}{(x + y)(x - y)} = \frac{x - y}{x + y}$。
2. 括号内减法运算：
$\frac{2x - y}{x + y} - \frac{x - y}{x + y} = \frac{(2x - y) - (x - y)}{x + y} = \frac{2x - y - x + y}{x + y} = \frac{x}{x + y}$。
3. 除法转化为乘法：
$\frac{x}{x + y} ÷ \frac{x - y}{x + y} = \frac{x}{x + y} × \frac{x + y}{x - y} = \frac{x}{x - y}$。
求值过程：
$x = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$，$y = (-2024)^0 = 1$，代入$\frac{x}{x - y}$得：
$\frac{2}{2 - 1} = 2$。

10. 已知$abc = 1$，求$\frac{a}{ab + a + 1}+\frac{b}{bc + b + 1}+\frac{c}{ac + c + 1}$的值.

1

因为$abc = 1$，所以：
1. 化简第一个分式：$\frac{a}{ab + a + 1} = \frac{a}{ab + a + abc} = \frac{a}{a(b + 1 + bc)} = \frac{1}{bc + b + 1}$；
2. 化简第三个分式：$\frac{c}{ac + c + 1} = \frac{c}{ac + c + abc} = \frac{c}{c(a + 1 + ab)} = \frac{c}{c · a(bc + b + 1)} = \frac{1}{bc + b + 1}$（因为$abc = 1$）；
3. 原式变为：$\frac{1}{bc + b + 1} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{c}{bc + b + 1} = \frac{1 + b + c}{bc + b + 1} = 1$。