7. 若 $m = x + y$，$n = x - y$，求 $\frac{m + n}{m - n} - \frac{m - n}{m + n}$ 的值。

解题步骤：
1. 代入 $ m $ 和 $ n $ 的表达式
已知 $ m = x + y $，$ n = x - y $，则：
$ m + n = (x + y) + (x - y) = 2x $
$ m - n = (x + y) - (x - y) = 2y $
2. 化简原式
原式 $ = \frac{m + n}{m - n} - \frac{m - n}{m + n} $
代入 $ m + n = 2x $ 和 $ m - n = 2y $，得：
$ = \frac{2x}{2y} - \frac{2y}{2x} = \frac{x}{y} - \frac{y}{x} $
3. 通分计算
$ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} $
最终结论：
$\boxed{\dfrac{x^2 - y^2}{xy}}$

8. 阅读下面的解题过程：
已知 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值。
解：由 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ 知 $x ≠ 0$，
所以 $\frac{x^{2} + 1}{x} = 3$，即 $x + \frac{1}{x} = 3$，
所以 $\frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7$。
所以 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值为 $\frac{1}{7}$。
该题的解法叫做倒数法，请你利用倒数法解下面的题目：
已知 $\frac{x}{x^{2} - 3x + 1} = \frac{1}{5}$，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ 的值。

$\frac{1}{63}$

由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$知$x ≠ 0$，
所以$\frac{x^2 - 3x + 1}{x} = 5$，即$x - 3 + \frac{1}{x} = 5$，
则$x + \frac{1}{x} = 8$，
所以$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 + 1 = 8^2 - 1 = 63$，
故$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{63}$。