3. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为直线 AB 上的动点(点 E 不与点 A，B 重合)，作射线 DE 并绕点 D 逆时针旋转 45°，交直线 BC 于点 F，连接 EF.
(1)探究：当点 E 在边 AB 上时，求证：EF=AE+CF.
(2)应用：①当点 E 在边 AB 上，且 AD=2 时，△BEF 的周长是；
②当点 E 不在边 AB 上时，EF，AE，CF 三者的数量关系是.

(1)证明：如答图，延长BA到点G，使AG=CF，
连接DG.
$ \because$四边形ABCD是正方形，
$ \therefore DA=DC$，∠ DAB=∠ DCF=90°，$\therefore ∠ DAG=90°$，
$ \therefore △ DAG≌△ DCF(\mathrm{SAS})$，
$ \therefore ∠ GDA=∠ FDC$，DG=DF.
$ \because ∠ ADC=90°$，∠ EDF=45°，
$ \therefore ∠ EDG=∠ ADG+∠ ADE=∠ FDC+∠ ADE=45°.$
在△ DEG和△ DEF中，
$\begin{cases} DE=DE, \\ ∠ EDG=∠ EDF, \\ DG=DF, \end{cases}$
$ \therefore △ DEG≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，
$ \therefore EF=EG=AE+AG=AE+CF.$

EF=CF-AE或EF=AE-CF
4

4. 如图，P 是正方形 ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3，将△ABP 绕点 B 按顺时针方向旋转到与△CBQ 重合，连接 PQ.
求：(1)PQ 的长；
(2)∠APB 的度数.

(1)解：$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore ∠ ABC=90°.$
$ \because △ ABP≌△ CBQ$，$\therefore ∠ ABP=∠ CBQ$，
$ \therefore ∠ PBQ=∠ ABC=90°.$
$ \because PB=BQ=2$，$\therefore PQ=\sqrt{PB^{2}+BQ^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}.$
(2)解：由旋转得QC=PA=1，
在△ QPC中，$(2\sqrt{2})^{2}+1^{2}=8+1=9$，$PC^{2}=3^{2}=9$，
即$PQ^{2}+QC^{2}=PC^{2}$，
$ \therefore △ QPC$为直角三角形，∠ PQC=90°.
$ \because △ PBQ$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ BQP=45°$，
$ \therefore ∠ APB=∠ BQC=∠ BQP+∠ PQC=45°+90°=135°.$