1. 如图①，E 为正方形 ABCD 内一点，∠AEB=90°，将 Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°，得到△CBE'，延长 AE 交 CE'于点 F，连接 DE.
(1)试判断四边形 BE'FE 的形状，并说明理由；
(2)如图②，若 DA=DE，请猜想线段 CF 与 FE'的数量关系并说明理由；
(3)如图①，若△ADE 的面积为 72，BC=15，求 CF 的长.

(1) 四边形BE'FE是正方形.理由如下：
$ \because$将$\mathrm{Rt}△ ABE$绕点B按顺时针方向旋转90°得到△ CBE'，
$ \therefore ∠ AEB=∠ CE'B=90°$，BE=BE'，∠ EBE'=90°.
$ \because ∠ BEF=90°$，$\therefore$四边形BE'FE是正方形.
(2)CF=FE'.理由如下：
如答图①，过点D作DH⊥ AE于点H.
$ \because DA=DE$，DH⊥ AE，
$ \therefore AH=\dfrac{1}{2}AE$，∠ ADH+∠ DAH=90°.
$ \because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AD=AB$，∠ DAB=90°，
$ \therefore ∠ DAH+∠ BAE=90°$，$\therefore ∠ ADH=∠ BAE.$
$ \because DA=AB$，∠ AHD=∠ BEA=90°，
$ \therefore △ ADH≌△ BAE(\mathrm{AAS})$，
$ \therefore AH=HE=BE=\dfrac{1}{2}AE.$
由
(1)可知四边形BE'FE是正方形，$\therefore BE=E'F$，
$ \therefore E'F=\dfrac{1}{2}AE.$
$ \because$将$\mathrm{Rt}△ ABE$绕点B按顺时针方向旋转90°得到△ CBE'，
$ \therefore AE=CE'$，$\therefore E'F=\dfrac{1}{2}CE'$，$\therefore CF=FE'.$
(3)作DG⊥ AE于点G，如答图②.

由
(2)可知，$\mathrm{Rt}△ AEB≌\mathrm{Rt}△ DGA$，
由将$\mathrm{Rt}△ ABE$绕点B按顺时针方向旋转90°得$\mathrm{Rt}△ CBE'$可知，$\mathrm{Rt}△ AEB≌\mathrm{Rt}△ CE'B$，
$ \therefore \mathrm{Rt}△ DGA≌\mathrm{Rt}△ CE'B$，$\therefore DG=AE=CE'.$
$ \because S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}DG· AE=72$，
设AE=x，则$DG=\dfrac{144}{x}$，
$ \therefore$由AE=DG，得$x=\dfrac{144}{x}$，解得x=12，
$ \therefore DG=AE=CE'=12.$
在$\mathrm{Rt}△ CBE'$中，$BE'=\sqrt{BC^{2}-CE'^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9.$
$ \because$四边形BE'FE是正方形，$\therefore BE=E'F=9$，
$ \therefore CF=CE'-E'F=12-9=3.$

2. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点(与点 B，C 不重合)，将线段 EA 绕点 E 顺时针旋转 90°到 EF，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 G，连接 CF.
(1)求证：△ABE≌△EGF；
(2)若 BE=2EC，$S_{△ECF}=4$，求 AB 的长；
(3)试判断△FCG 的形状，并说明理由.

(1)证明：$\because ∠ AEF=90°$，$\therefore ∠ AEB+∠ GEF=90°.$
又$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore ∠ ABE=90°$，
$ \therefore ∠ AEB+∠ BAE=90°$，$\therefore ∠ GEF=∠ BAE.$
又$\because FG⊥ BC$，$\therefore ∠ EGF=90°.$
在△ ABE和△ EGF中，
$\begin{cases} ∠ ABE=∠ EGF, \\ ∠ BAE=∠ GEF, \\ AE=EF, \end{cases}$
$ \therefore △ ABE≌△ EGF(\mathrm{AAS}).$
(2)解：由
(1)知△ ABE≌△ EGF，
$ \therefore AB=EG$，BE=GF.
设EC=x，则BE=GF=2EC=2x.
$ \because S_{△ ECF}=4$，$\therefore \dfrac{1}{2}x· 2x=4$，解得x=2(负值已舍去)，
$ \therefore AB=BC=3x=6.$
(3)解：△ FCG是等腰直角三角形.理由如下：
$ \because BC=AB=EG$，$\therefore BE=CG$，$\therefore CG=GF.$
又$\because ∠ EGF=90°$，$\therefore △ FCG$是等腰直角三角形.