1. (2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是$1:3$，则这两个相似三角形的面积比是()

A.$1:3$
B.$1:4$
C.$1:6$
D.$1:9$

1. D

因为相似三角形面积比等于相似比的平方，相似比是$1:3$，所以面积比是$1^2:3^2 = 1:9$。
D

2. 如图，$△ ABC$与$△ DEF$位似，点$O$为位似中心，相似比为$2:3$.若$△ ABC$的周长为$4$，则$△ DEF$的周长是()


A.$4$
B.$6$
C.$9$
D.$16$

2. B

证明：
∵△ABC与△DEF位似，相似比为2:3，
∴△ABC与△DEF的周长比为2:3。
设△DEF的周长为$x$，则$\frac{4}{x}=\frac{2}{3}$，
解得$x = 6$。
B

3. (2023·南充)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为$1.6m$，同时量得小菲与镜子的水平距离为$2m$，镜子与旗杆的水平距离为$10m$，则旗杆高度为()

A.$6.4m$
B.$8m$
C.$9.6m$
D.$12.5m$

3. B

设旗杆高度为$h$米。
由光的反射定律知，入射角等于反射角，故两个直角三角形相似。
$\frac{1.6}{h}=\frac{2}{10}$
解得$h = 8$
答案：B

4. 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$的顶点坐标分别是$A(1,2)$，$B(1,1)$，$C(3,1)$，以原点为位似中心，在原点的同侧画$△ DEF$，使$△ DEF$与$△ ABC$成位似图形，且相似比为$2:1$，则线段$DF$的长度为()

A.$\sqrt{5}$
B.$2$
C.$4$
D.$2\sqrt{5}$

4. D

解：
∵以原点为位似中心，在原点同侧画△DEF，与△ABC成位似图形，相似比为2:1，
A(1,2)，C(3,1)，
∴D(1×2,2×2)=(2,4)，F(3×2,1×2)=(6,2)，
∴DF=$\sqrt{(6-2)^2+(2-4)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
答案：D

5. 若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似.如图，如果扇形$AOB$与扇形$A_{1}O_{1}B_{1}$是相似扇形，且半径$OA:O_{1}A_{1}=k$($k$为不等于$0$的常数)，那么有下面四个结论：①$∠ AOB=∠ A_{1}O_{1}B_{1}$；②$△ AOB∽△ A_{1}O_{1}B_{1}$；③$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=k$；④扇形$AOB$与扇形$A_{1}O_{1}B_{1}$的面积之比为$k^{2}$.其中成立的有()

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

5. D

解：设扇形$AOB$的半径为$r$，圆心角为$α$，扇形$A_{1}O_{1}B_{1}$的半径为$r_{1}$，圆心角为$α_{1}$。
由相似扇形定义，$\frac{\frac{απ r}{180}}{\frac{α_{1}π r_{1}}{180}}=\frac{r}{r_{1}}$，化简得$α = α_{1}$，即$∠ AOB = ∠ A_{1}O_{1}B_{1}$，①成立。
$\because OA:O_{1}A_{1}=k$，$OB:O_{1}B_{1}=k$，$∠ AOB = ∠ A_{1}O_{1}B_{1}$，$\therefore △ AOB ∼ △ A_{1}O_{1}B_{1}$，②成立。
$\because △ AOB ∼ △ A_{1}O_{1}B_{1}$，相似比为$k$，$\therefore \frac{AB}{A_{1}B_{1}}=k$，③成立。
$\frac{S_{扇形AOB}}{S_{扇形A_{1}O_{1}B_{1}}}=\frac{\frac{1}{2}α r^{2}}{\frac{1}{2}α_{1} r_{1}^{2}}=k^{2}$，④成立。
综上，①②③④均成立，答案为D。

6. 如图，在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC$，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为$1$，$△ ABC$的面积为$42$，则四边形$DBCE$的面积是()

A.$20$
B.$22$
C.$24$
D.$26$

6. D