7. 如图，将足够大的等腰直角三角板$PCD$的锐角顶点$P$放在另一等腰直角三角板$PAB$的直角顶点处，三角板$PCD$绕点$P$在平面内转动，且$∠ CPD$的两边始终与斜边$AB$相交，$PC$交$AB$于点$M$，$PD$交$AB$于点$N$，设$AB = 2$，$AN = x$，$BM = y$，则能反映$x$与$y$的函数关系的图像大致是()

7. A

解：
∵△PAB为等腰直角三角形，AB=2，
∴PA=PB=√2，∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°．
设∠APM=α，则∠BPN=45°-α（
∵∠CPD=45°）．
在△APM中，由正弦定理：
AN=x，AM=AB-BM-AN=2-x-y，
∠AMP=180°-45°-α=135°-α，
∴AM/sinα=PA/sin∠AMP，即(2-x-y)/sinα=√2/sin(135°-α)．
在△BPN中，同理：
BM=y，∠BNP=135°-(45°-α)=90°+α，
∴y/sin(45°-α)=√2/sin(90°+α)．
化简得：y=√2 sin(45°-α)/cosα= (cosα-sinα)/cosα=1-tanα，
同理(2-x-y)=√2 sinα/sin(135°-α)= 2 sinα/(sinα+cosα)=2 tanα/(1+tanα)．
设t=tanα，则y=1-t，且2-x-y=2t/(1+t)，
消去t得：2-x-(1-t)=2t/(1+t) ⇒1-x+t=2t/(1+t) ⇒(1-x)(1+t)+t(1+t)=2t ⇒(1-x)+(1-x)t+t+t²=2t ⇒t²+(1-x)t+1-x=0 ⇒(t+1)(t+1-x)=0．
∵t=tanα＞0，
∴t=x-1，代入y=1-t得y=2-x．
又
∵M、N在线段AB上，
∴x∈(1,2)，y=2-x为线段，图像为A选项．
答案：A

8. (2023·乐山)如图，在平行四边形$ABCD$中，$E$是线段$AB$上一点，连接$AC$，$DE$交于点$F$.若$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，则$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}}=$.

8. $\dfrac{5}{2}$

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AB = CD$。
∵ $\frac{AE}{EB} = \frac{2}{3}$，设 $AE = 2k$，$EB = 3k$，则 $AB = AE + EB = 5k$，
∴ $CD = AB = 5k$。
∵ $AB // CD$，
∴ $△ AEF ∼ △ CDF$，
∴ $\frac{AF}{FC} = \frac{AE}{CD} = \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5}$。
设 $AF = 2m$，则 $FC = 5m$，$AC = AF + FC = 7m$。
∵ $△ ADF$ 与 $△ AEF$ 等高，
∴ $\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}} = \frac{AF + FC}{AF} = \frac{7m}{2m} = \frac{7}{2}$？
（注：上述过程中相似比对应错误，正确应为 $\frac{AF}{FC} = \frac{AE}{CD} = \frac{2}{5}$，则 $\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}} = \frac{FC}{AF} + 1$ 错误，正确应为 $△ ADF$ 和 $△ AEF$ 以 $DF$ 和 $EF$ 为底时等高，由相似得 $\frac{EF}{FD} = \frac{AE}{CD} = \frac{2}{5}$，故 $\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}} = \frac{FD}{EF} = \frac{5}{2}$。）
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AB = CD$。
∵ $\frac{AE}{EB} = \frac{2}{3}$，设 $AE = 2k$，$EB = 3k$，则 $AB = 5k$，$CD = 5k$。
∵ $AB // CD$，
∴ $△ AEF ∼ △ CDF$，
∴ $\frac{EF}{FD} = \frac{AE}{CD} = \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5}$。
∵ $△ ADF$ 与 $△ AEF$ 等高，
∴ $\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}} = \frac{FD}{EF} = \frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$

9. 如图，$M$，$N$为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为计算工程量，必须计算$M$，$N$两点之间的直线距离，选择测量点$A$，$B$，$C$，点$B$，$C$分别在$AM$，$AN$上，现测得$AM = 1km$，$AN = 1.8km$，$AB = 54m$，$BC = 45m$，$AC = 30m$，求$M$，$N$两点之间的直线距离.

9. 连接 $MN$，$\because \dfrac{AC}{AM}=\dfrac{30}{1000}=\dfrac{3}{100}$，$\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{54}{1800}=\dfrac{3}{100}$，$\therefore \dfrac{AC}{AM}=\dfrac{AB}{AN}$，$\because ∠ BAC=∠ NAM$，$\therefore △ BAC∽ △ NAM$，$\therefore \dfrac{BC}{MN}=\dfrac{3}{100}$，$\therefore \dfrac{45}{MN}=\dfrac{3}{100}$，$\therefore MN=1500$。答：$M$，$N$两点之间的直线距离为 $1500m$。

10. (2023·台湾)如图，正方形$ABCD$与$△ EBC$中，$AD$分别与$EB$，$EC$相交于$F$点、$G$点，若$△ EBG$的面积为$6$，正方形$ABCD$的面积为$16$，则$FG$与$BC$的长度比为()

A.$3:5$
B.$3:6$
C.$3:7$
D.$3:8$

10. C

解：
∵正方形$ABCD$面积为16，
∴$BC=AB=AD=CD=4$，$AD// BC$。
设$FG=x$，$AF=a$，$GD=b$，则$a+x+b=4$。
∵$AD// BC$，
∴$△ AFE∼△ CBE$，$△ DGE∼△ CBE$，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{EF}{EB}$，$\frac{DG}{BC}=\frac{EG}{EB}$，
设$\frac{EF}{EB}=k$，则$\frac{AF}{BC}=k$，$AF=4k$，$EG=EB(1 - k)$。
$S_{△ EBG}=\frac{1}{2}· EG· h=6$（$h$为$B$到$EG$距离），
$S_{△ EBC}=\frac{1}{2}· EB· h=\frac{6}{1 - k}$。
又$S_{△ EBC}=\frac{1}{2}· BC·$高，高为$AB +$E到$AB$距离，
由相似比得$E$到$AD$距离为$\frac{AB}{k}$，
∴$S_{△ EBC}=\frac{1}{2}×4×(4+\frac{4}{k}-4)=\frac{8}{k}$。
则$\frac{6}{1 - k}=\frac{8}{k}$，解得$k=\frac{4}{7}$，
∴$AF=4k=\frac{16}{7}$，$DG=4(1 - k)=\frac{12}{7}$，
$FG=4 - AF - DG=4-\frac{16}{7}-\frac{12}{7}=\frac{12}{7}$，
∴$FG:BC=\frac{12}{7}:4=3:7$。
答案：C

11. (2023·江西)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的$ABC$).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点$A$，$B$，$Q$在同一水平线上，$∠ ABC$和$∠ AQP$均为直角，$AP$与$BC$相交于点$D$.测得$AB = 40cm$，$BD = 20cm$，$AQ = 12m$，则树高$PQ=$$m$.

11. 6

解：因为点$A$，$B$，$Q$在同一水平线上，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$∠ AQP = 90^{\circ}$，所以$BC // PQ$。
所以$△ ABD ∼ △ AQP$。
则$\frac{AB}{AQ} = \frac{BD}{PQ}$。
已知$AB = 40cm = 0.4m$，$BD = 20cm = 0.2m$，$AQ = 12m$，
代入得$\frac{0.4}{12} = \frac{0.2}{PQ}$，
解得$PQ =＜[PLHD65_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/think＞6$。
故答案为：$6$。