12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为$1$，$△ ABC$和$△ DEF$的顶点都在网格线的交点上.设$△ ABC$的周长为$C_{1}$，$△ DEF$的周长为$C_{2}$，则$\frac{C_{1}}{C_{2}}$的值等于.

12. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

解：设每个小正方形边长为1。
在$△ABC$中：
$AB=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=1$，
$AC=\sqrt{(2)^2+(1)^2}=\sqrt{5}$，
则$C_1=AB+BC+AC=\sqrt{2}+1+\sqrt{5}$。
在$△DEF$中：
$DE=2$，
$EF=\sqrt{(2)^2+(2)^2}=2\sqrt{2}$，
$DF=\sqrt{(1)^2+(3)^2}=\sqrt{10}$，
则$C_2=DE+EF+DF=2+2\sqrt{2}+\sqrt{10}$。
$\frac{C_1}{C_2}=\frac{\sqrt{2}+1+\sqrt{5}}{2+2\sqrt{2}+\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$

13. 如图，$Rt△ ABC$纸片中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$，点$D$在边$BC$上，以$AD$为折痕将$△ ABD$折叠得到$△ AB'D$，$AB'$与边$BC$交于点$E$.若$△ DEB'$为直角三角形，则$BD$的长是.

13. 2 或 5

14. (2024·济南)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究.
(一) 拓展探究
如图 1，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD⊥ AB$，垂足为点$D$.
(1) 兴趣小组的同学得出$AC^{2}=AD· AB$.理由如下：

请完成填空：①；②；
(2) 如图 2，$F$为线段$CD$上一点，连接$AF$并延长至点$E$，连接$CE$，当$∠ ACE=∠ AFC$时，请判断$△ AEB$的形状，并说明理由.
(二) 学以致用
(3) 如图 3，$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = 2$，$BC = 2\sqrt{6}$，平面内一点$D$，满足$AD = AC$，连接$CD$并延长至点$E$，且$∠ CEB=∠ CBD$，当线段$BE$的长度取得最小值时.直接写出线段$CE$的长.

14. (1) ①$∠ ACD$，②$\dfrac{AC}{AD}$ (2) $△ AEB$ 是直角三角形，$\because ∠ ACE=∠ AFC$，$∠ CAE=∠ FAC$，$\therefore △ ACF∽ △ AEC$，$\therefore \dfrac{AC}{AF}=\dfrac{AE}{AC}$，$\therefore AC^{2}=AF· AE$，由 (1) 得 $AC^{2}=AD· AB$，$\therefore AF· AE=AD· AB$，$\therefore \dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AD}{AE}$。$\because ∠ FAD=∠ BAE$，$\therefore △ AFD∽ △ ABE$，$\therefore ∠ ADF=∠ AEB=90^{\circ}$，$\therefore △ AEB$ 是直角三角形；(3) $2\sqrt{15}$