一、选择题
1. 若$x:y = 3:4$，则下列各式中不正确的是()

A.$\frac{x + y}{y} = \frac{7}{4}$
B.$\frac{y}{y - x} = 4$
C.$\frac{x - y}{y} = \frac{1}{4}$
D.$\frac{x}{2y} = \frac{3}{8}$

1. C

2. (2024·重庆)若两个相似三角形的相似比为$1:4$，则这两个三角形面积的比是()

A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:8$
D.$1:16$

2. D

因为相似三角形面积的比等于相似比的平方，两个相似三角形的相似比为$1:4$，所以面积比为$1^2:4^2 = 1:16$。
D

3. (2023·内江)如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$为边$AB$的三等分点，点$F$，$G$在边$BC$上，$AC// DG// EF$，点$H$为$AF$与$DG$的交点. 若$AC = 12$，则$DH$的长为()

A.$1$
B.$\frac{3}{2}$
C.$2$
D.$3$

3. C

证明：
∵点D，E为边AB的三等分点，
∴AD = DE = EB = $\frac{1}{3}$AB，
∴AD = $\frac{1}{3}$AB，AE = $\frac{2}{3}$AB。
∵AC//DG//EF，
∴△BDG∽△BAC，△BEF∽△BAC。
∴$\frac{DG}{AC}$ = $\frac{BD}{BA}$，$\frac{EF}{AC}$ = $\frac{BE}{BA}$。
∵BD = $\frac{2}{3}$AB，BE = $\frac{1}{3}$AB，AC = 12，
∴$\frac{DG}{12}$ = $\frac{2}{3}$，$\frac{EF}{12}$ = $\frac{1}{3}$，
∴DG = 8，EF = 4。
∵AC//EF，
∴△AHD∽△FHE。
∴$\frac{DH}{EH}$ = $\frac{AD}{AE}$ = $\frac{1}{2}$。
设DH = x，则EH = 2x。
∵DG = 8，
∴DH + HG = 8，即x + HG = 8，
∵EF = 4，HG = EF = 4，
∴x + 4 = 8，解得x = 2，
即DH = 2。
C

4. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：$AC$与$BD$交于点$O$，$AB// CD$，若点$O$到$AB$的距离为$10cm$，点$O$到$CD$的距离为$15cm$，蜡烛火焰$AB$的高度是$3cm$，则蜡烛火焰倒立的像$CD$的高度是()

A.$5cm$
B.$4.5cm$
C.$6.5cm$
D.$8cm$

4. B

解：因为 $AB // CD$，所以 $△ OAB ∼ △ OCD$。
相似三角形对应高的比等于相似比，点$O$到$AB$的距离为$10\,\mathrm{cm}$，到$CD$的距离为$15\,\mathrm{cm}$，则相似比为$\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$。
设$CD$的高度为$h\,\mathrm{cm}$，则$\frac{AB}{CD}=\frac{2}{3}$，即$\frac{3}{h}=\frac{2}{3}$，解得$h = \frac{9}{2}=4.5$。
答案：B

5. 如图，$△ ABC$与$△ DEF$位似，点$O$是它们的位似中心，其中$OE = 2OB$，则$△ ABC$与$△ DEF$的周长之比是()

A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:3$
D.$1:9$

5. A

证明：
∵△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，
∴△ABC∽△DEF，且$\frac{OB}{OE}=\frac{AB}{DE}$。
∵OE=2OB，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$。
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴△ABC与△DEF的周长之比是$1:2$。
A

6. (2024·河南)如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，点$E$为$OC$的中点，$EF// AB$交$BC$于点$F$. 若$AB = 4$，则$EF$的长为()

A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{4}{3}$
D.$2$

6. B

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$O$为$AC$中点，即$AO=OC$。
∵$E$为$OC$中点，
∴$OE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{4}AC$，$EC=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{4}AC$，
∴$AE=AO+OE=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{4}AC=\frac{3}{4}AC$，$\frac{EC}{AE}=\frac{1}{3}$。
∵$EF// AB$，
∴$△ CEF∼△ CAB$（相似三角形判定定理）。
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{EC}{AC}$。
∵$AC=AE+EC=\frac{3}{4}AC+EC$，解得$EC=\frac{1}{4}AC$，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{1}{4}$。
∵$AB=4$，
∴$EF=4×\frac{1}{4}=1$。
答案：B

7. (2023·东营)如图，$△ ABC$为等边三角形，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AB$上，$∠ ADE = 60^{\circ}$. 若$BD = 4DC$，$DE = 2.4$，则$AD$的长为()

A.$1.8$
B.$2.4$
C.$3$
D.$3.2$

7. C

证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC。
设DC=x，则BD=4x，BC=5x，AB=AC=5x。
∵∠ADE=60°，∠B=60°，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=60°+∠CAD，
∠ADB=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB，
∴∠CAD=∠EDB，
∴△ABD∽△DCE。
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{AD}{DE}$，即$\frac{5x}{x}=\frac{AD}{2.4}$，
解得AD=12×0.25=3。
答案：C