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8. 如图，小明为了测量一凉亭的高度$AB$(顶端$A$到水平地面$BD$的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶$BC$等高的台阶$DE$($DE = BC = 0.5m$，$A$，$B$，$C$三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点$G$处，测得$CG = 15m$，然后沿直线$CG$后退到点$E$处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端$A$，测得$EG = 3m$，小明身高$EF = 1.6m$，则凉亭的高度$AB$约为(
A.$8.5m$
B.$9m$
C.$9.5m$
D.$10m$
A
)A.$8.5m$
B.$9m$
C.$9.5m$
D.$10m$
答案
8. A
解析
解：由题意知，∠AGC=∠FGE（反射角等于入射角），∠ACG=∠FEG=90°，所以△ACG∽△FEG。
则$\frac{AC}{FE}=\frac{CG}{EG}$。
已知$CG = 15m$，$EG = 3m$，$EF = 1.6m$，代入得$\frac{AC}{1.6}=\frac{15}{3}$，解得$AC = 8m$。
因为$BC = 0.5m$，所以$AB=AC + BC=8 + 0.5=8.5m$。
答案：A
则$\frac{AC}{FE}=\frac{CG}{EG}$。
已知$CG = 15m$，$EG = 3m$，$EF = 1.6m$，代入得$\frac{AC}{1.6}=\frac{15}{3}$，解得$AC = 8m$。
因为$BC = 0.5m$，所以$AB=AC + BC=8 + 0.5=8.5m$。
答案：A
9. 如图，边长为$2$的正方形$ABCD$中，$P$是$CD$的中点，连接$AP$并延长，交$BC$的延长线于点$F$，作$△ CPF$的外接圆$\odot O$，连接$BP$并延长交$\odot O$于点$E$，连接$EF$，则$EF$的长为(
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
D
)A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
答案
9. D
10. 如图，矩形$ABCD$的边长$AD = 3$，$AB = 2$，$E$为$AB$的中点，$F$在边$BC$上，且$BF = 2FC$，$AF$分别与$DE$，$DB$相交于点$M$，$N$，则$MN$的长为(
A.$\frac{2\sqrt{2}}{5}$
B.$\frac{9\sqrt{2}}{20}$
C.$\frac{3\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{4\sqrt{2}}{5}$
B
)A.$\frac{2\sqrt{2}}{5}$
B.$\frac{9\sqrt{2}}{20}$
C.$\frac{3\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{4\sqrt{2}}{5}$
答案
10. B
解析
解：以点$B$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，$BA$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
因为矩形$ABCD$中，$AD = 3$，$AB = 2$，所以$A(0,2)$，$B(0,0)$，$C(3,0)$，$D(3,2)$。
$E$为$AB$中点，则$E(0,1)$；$F$在$BC$上，$BF = 2FC$，$BC = 3$，所以$BF = 2$，$F(2,0)$。
直线$AF$：过$A(0,2)$，$F(2,0)$，斜率$k_{AF}=\frac{0 - 2}{2 - 0}=-1$，方程为$y=-x + 2$。
直线$DE$：过$D(3,2)$，$E(0,1)$，斜率$k_{DE}=\frac{1 - 2}{0 - 3}=\frac{1}{3}$，方程为$y - 1=\frac{1}{3}(x - 0)$，即$y=\frac{1}{3}x + 1$。
联立$\begin{cases}y=-x + 2\\y=\frac{1}{3}x + 1\end{cases}$，解得$x=\frac{3}{4}$，$y=\frac{5}{4}$，所以$M(\frac{3}{4},\frac{5}{4})$。
直线$DB$：过$D(3,2)$，$B(0,0)$，斜率$k_{DB}=\frac{2 - 0}{3 - 0}=\frac{2}{3}$，方程为$y=\frac{2}{3}x$。
联立$\begin{cases}y=-x + 2\\y=\frac{2}{3}x\end{cases}$，解得$x=\frac{6}{5}$，$y=\frac{4}{5}$，所以$N(\frac{6}{5},\frac{4}{5})$。
$MN=\sqrt{(\frac{6}{5}-\frac{3}{4})^2+(\frac{4}{5}-\frac{5}{4})^2}=\sqrt{(\frac{9}{20})^2+(-\frac{9}{20})^2}=\frac{9\sqrt{2}}{20}$。
答案：$\frac{9\sqrt{2}}{20}$
因为矩形$ABCD$中，$AD = 3$，$AB = 2$，所以$A(0,2)$，$B(0,0)$，$C(3,0)$，$D(3,2)$。
$E$为$AB$中点，则$E(0,1)$；$F$在$BC$上，$BF = 2FC$，$BC = 3$，所以$BF = 2$，$F(2,0)$。
直线$AF$：过$A(0,2)$，$F(2,0)$，斜率$k_{AF}=\frac{0 - 2}{2 - 0}=-1$，方程为$y=-x + 2$。
直线$DE$：过$D(3,2)$，$E(0,1)$，斜率$k_{DE}=\frac{1 - 2}{0 - 3}=\frac{1}{3}$，方程为$y - 1=\frac{1}{3}(x - 0)$，即$y=\frac{1}{3}x + 1$。
联立$\begin{cases}y=-x + 2\\y=\frac{1}{3}x + 1\end{cases}$，解得$x=\frac{3}{4}$，$y=\frac{5}{4}$，所以$M(\frac{3}{4},\frac{5}{4})$。
直线$DB$：过$D(3,2)$，$B(0,0)$，斜率$k_{DB}=\frac{2 - 0}{3 - 0}=\frac{2}{3}$，方程为$y=\frac{2}{3}x$。
联立$\begin{cases}y=-x + 2\\y=\frac{2}{3}x\end{cases}$，解得$x=\frac{6}{5}$，$y=\frac{4}{5}$，所以$N(\frac{6}{5},\frac{4}{5})$。
$MN=\sqrt{(\frac{6}{5}-\frac{3}{4})^2+(\frac{4}{5}-\frac{5}{4})^2}=\sqrt{(\frac{9}{20})^2+(-\frac{9}{20})^2}=\frac{9\sqrt{2}}{20}$。
答案：$\frac{9\sqrt{2}}{20}$
二、填空题
11. 已知线段$b$是线段$a$，$c$的比例中项，且$a = 9$，$c = 4$，那么$b =$
11. 已知线段$b$是线段$a$，$c$的比例中项，且$a = 9$，$c = 4$，那么$b =$
6
.答案
11. 6
12. (2023·泰州)两个相似图形的周长比为$3:2$，则面积比为
$ 9:4 $
.答案
12. $ 9:4 $
13. (2023·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$位似，原点$O$是位似中心，且$\frac{AB}{A_1B_1} = 3$. 若$A(9,3)$，则$A_1$点的坐标是
$ (3,1) $
.答案
13. $ (3,1) $
解析
解：因为△ABC与△A₁B₁C₁位似，原点O是位似中心，且$\frac{AB}{A_1B_1} = 3$，所以位似比为$3:1$。
已知点$A(9,3)$，设$A_1(x,y)$。
由于位似图形对应点的坐标比等于位似比，所以$\frac{9}{x} = 3$，$\frac{3}{y} = 3$。
解得$x = 3$，$y = 1$。
故$A_1$点的坐标是$(3,1)$。
已知点$A(9,3)$，设$A_1(x,y)$。
由于位似图形对应点的坐标比等于位似比，所以$\frac{9}{x} = 3$，$\frac{3}{y} = 3$。
解得$x = 3$，$y = 1$。
故$A_1$点的坐标是$(3,1)$。
14. (2023·潍坊)在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，$AB$表示塔的高度，$CD$表示竹竿顶端到地面的高度，$EF$表示人眼到地面的高度，$AB$，$CD$，$EF$在同一平面内，点$A$，$C$，$E$在一条水平直线上. 已知$AC = 20$米，$CE = 10$米，$CD = 7$米，$EF = 1.4$米，人从点$F$远眺塔顶$B$，视线恰好经过竹竿的顶端$D$，可求出塔的高度. 根据以上信息，塔的高度为
$ 18.2 $
米.答案
14. $ 18.2 $
解析
解：过点$F$作$FG ⊥ AB$于点$G$，交$CD$于点$H$。
由题意得：$AG = EF = 1.4$米，$CH = EF = 1.4$米，$GH = CE = 10$米，$FH = CE = 10$米，$GF = AC + CE = 20 + 10 = 30$米，$DH = CD - CH = 7 - 1.4 = 5.6$米。
因为$CD // AB$，所以$△ DHF ∼ △ BGF$。
则$\frac{DH}{BG} = \frac{FH}{FG}$，即$\frac{5.6}{BG} = \frac{10}{30}$，解得$BG = 16.8$米。
所以$AB = AG + BG = 1.4 + 16.8 = 18.2$米。
18.2
由题意得：$AG = EF = 1.4$米，$CH = EF = 1.4$米，$GH = CE = 10$米，$FH = CE = 10$米，$GF = AC + CE = 20 + 10 = 30$米，$DH = CD - CH = 7 - 1.4 = 5.6$米。
因为$CD // AB$，所以$△ DHF ∼ △ BGF$。
则$\frac{DH}{BG} = \frac{FH}{FG}$，即$\frac{5.6}{BG} = \frac{10}{30}$，解得$BG = 16.8$米。
所以$AB = AG + BG = 1.4 + 16.8 = 18.2$米。
18.2
15. (2023·广东)边长分别为$10$，$6$，$4$的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为
15
.答案
15. 15
