16. 【基础巩固】
(1) 如图 1，在 $ △ ABC $ 中，$ D $，$ E $，$ F $ 分别为 $ AB $，$ AC $，$ BC $ 上的点，$ DE // BC $，$ BF = CF $，$ AF $ 交 $ DE $ 于点 $ G $，求证：$ DG = EG $。
【尝试应用】
(2) 如图 2，在(1)的条件下，连接 $ CD $，$ CG $。若 $ CG ⊥ DE $，$ CD = 6 $，$ AE = 3 $，求 $ \frac{DE}{BC} $ 的值。

16. (1) $ \because DE // BC $，$ \therefore △ AGD ∽ △ AFB $，$ △ AFC ∽ △ AGE $，$ \therefore \frac{DG}{BF} = \frac{AG}{AF} $，$ \frac{GE}{FC} = \frac{AG}{AF} $，$ \therefore \frac{DG}{BF} = \frac{GE}{FC} $。$ \because BF = CF $，$ \therefore DG = EG $； (2) $ \because DG = EG $，$ CG ⊥ DE $，$ \therefore CE = CD = 6 $。$ \because DE // BC $，$ \therefore △ ADE ∽ △ ABC $，$ \therefore \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC} = \frac{3}{3 + 6} = \frac{1}{3} $。

17. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1) 如图 1，在正方形 $ ABCD $ 中，点 $ E $，$ F $ 分别是 $ AB $，$ AD $ 上的两点，连接 $ DE $，$ CF $，$ DE ⊥ CF $，则 $ \frac{DE}{CF} $ 的值为；
(2) 如图 2，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AD = 7 $，$ CD = 4 $，点 $ E $ 是 $ AD $ 上的一点，连接 $ CE $，$ BD $，且 $ CE ⊥ BD $，求 $ \frac{CE}{BD} $ 的值；
【类比探究】
(3) 如图 3，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ A = ∠ B = 90° $，点 $ E $ 为 $ AB $ 上一点，连接 $ DE $，过点 $ C $ 作 $ DE $ 的垂线交 $ ED $ 的延长线于点 $ G $，交 $ AD $ 的延长线于点 $ F $，求证：$ DE · AB = CF · AD $。

17. (1) 1 (2) 如图 2，设 $ DB $ 与 $ CE $ 交于点 $ G $，$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，$ \therefore ∠ A = ∠ EDC = 90^{\circ} $，$ \because CE ⊥ BD $，$ \therefore ∠ DGC = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ CDG + ∠ ECD = 90^{\circ} $，$ \because ∠ ADB + ∠ CDG = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ ECD = ∠ ADB $，$ \because ∠ CDE = ∠ A $，$ \therefore △ DEC ∽ △ ABD $，$ \therefore \frac{CE}{BD} = \frac{DC}{AD} = \frac{4}{7} $； (3) 如图 3，过点 $ C $ 作 $ CH ⊥ AF $ 交 $ AF $ 的延长线于点 $ H $，$ \because CG ⊥ EG $，$ \therefore ∠ G = ∠ H = ∠ A = ∠ B = 90^{\circ} $，$ \therefore $ 四边形 $ ABCH $ 为矩形，$ \therefore AB = CH $，$ ∠ FCH + ∠ CFH = ∠ DFG + ∠ FDG = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ FCH = ∠ FDG = ∠ ADE $，$ ∠ A = ∠ H = 90^{\circ} $，$ \therefore △ DEA ∽ △ CFH $，$ \therefore \frac{DE}{CF} = \frac{AD}{CH} $，$ \therefore \frac{DE}{CF} = \frac{AD}{AB} $，$ \therefore DE · AB = CF · AD $。