1. (2024·内江)已知△ABC 与△DEF 相似，且相似比为 1:3，则△ABC 与△DEF 的周长之比是()

A.1:1
B.1:3
C.1:6
D.1:9

1.B

2. (2024·湖南)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别为边 AB，AC 的中点.下列结论中，错误的是()

A.DE//BC
B.△ADE∽△ABC
C.BC = 2DE
D.$ S_{△ADE}=\frac{1}{2}S_{△ABC} $

2.D

证明：
∵点D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC=2DE，A、C正确；
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，B正确；
∵△ADE∽△ABC，且相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$S_{△ADE}=(\frac{1}{2})^2S_{△ABC}=\frac{1}{4}S_{△ABC}$，D错误.
答案：D

3. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，A，B，C，D 四个点均在格点上，AC 与 BD 相交于点 E，连接 AB，CD，则△ABE 与△CDE 的周长比为()

A.1:4
B.4:1
C.1:2
D.2:1

3.D

解：设每个小正方形边长为1，
由图可知，$A(0,3)$，$B(4,5)$，$C(4,2)$，$D(2,0)$。
直线$AC$：设$y=k_1x+b_1$，将$A(0,3)$，$C(4,2)$代入得$\begin{cases}b_1=3\\4k_1+b_1=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-\frac{1}{4}\\b_1=3\end{cases}$，即$y=-\frac{1}{4}x+3$。
直线$BD$：设$y=k_2x+b_2$，将$B(4,5)$，$D(2,0)$代入得$\begin{cases}4k_2+b_2=5\\2k_2+b_2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=\frac{5}{2}\\b_2=-5\end{cases}$，即$y=\frac{5}{2}x-5$。
联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{4}x+3\\y=\frac{5}{2}x-5\end{cases}$，解得$x=\frac{32}{11}$，$y=\frac{45}{11}$，即$E(\frac{32}{11},\frac{45}{11})$。
计算$AE=\sqrt{(\frac{32}{11}-0)^2+(\frac{45}{11}-3)^2}=\frac{40}{11}$，$CE=\sqrt{(4-\frac{32}{11})^2+(2-\frac{45}{11})^2}=\frac{20}{11}$，故$\frac{AE}{CE}=2$。
因为$∠ AEB=∠ CED$，$∠ EAB=∠ ECD$，所以$△ ABE∼△ CDE$，相似比为$2:1$。
因此，$△ ABE$与$△ CDE$的周长比为$2:1$。
答案：D

4. 如图，已知△ABC∽△DEF，AB:DE = 1:2，则下列等式一定成立的是()

A.$ \frac{BC}{DF}=\frac{1}{2} $
B.$ \frac{∠A的度数}{∠D的度数}=\frac{1}{2} $
C.$ \frac{△ABC的面积}{△DEF的面积}=\frac{1}{2} $
D.$ \frac{△ABC的周长}{△DEF的周长}=\frac{1}{2} $

4.D

∵△ABC∽△DEF，AB:DE = 1:2，
∴相似比为$\frac{1}{2}$。
A. $\frac{BC}{EF}=\frac{1}{2}$，不是$\frac{BC}{DF}$，故A错误；
B. 相似三角形对应角相等，$∠ A = ∠ D$，$\frac{∠ A的度数}{∠ D的度数}=1$，故B错误；
C. 面积比为相似比的平方，$\frac{△ABC的面积}{△DEF的面积}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，故C错误；
D. 周长比等于相似比，$\frac{△ABC的周长}{△DEF的周长}=\frac{1}{2}$，故D正确。
D

5. 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是边 AC，AB 的中点，BD 与 CE 交于点 O，连接 DE.有下列结论：① $ \frac{OE}{OB}=\frac{OD}{OC} $；② $ \frac{DE}{BC}=\frac{1}{2} $；③ $ \frac{S_{△DOE}}{S_{△BOC}}=\frac{1}{2} $；④ $ \frac{S_{△DOE}}{S_{△DBE}}=\frac{1}{3} $.其中正确的有()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

5.B

证明：
∵D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，故②正确；
∵DE//BC，
∴△DOE∽△BOC，
∴$\frac{OE}{OC}=\frac{OD}{OB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{OB}≠\frac{OD}{OC}$（$\frac{OE}{OB}=\frac{1}{2}$，$\frac{OD}{OC}=\frac{1}{2}$，但比例式对应错误），故①错误；
$\frac{S_{△DOE}}{S_{△BOC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，故③错误；
设$S_{△DOE}=k$，则$S_{△BOC}=4k$，
∵△DOE∽△BOC，$\frac{OE}{OC}=\frac{1}{2}$，
∴$S_{△BOE}=2k$（等高不同底，面积比等于底之比），
∴$S_{△DBE}=S_{△DOE}+S_{△BOE}=k+2k=3k$，
∴$\frac{S_{△DOE}}{S_{△DBE}}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$，故④正确；
综上，正确的结论有②④，共2个。
答案：B

6. 若四边形 ABCD∽四边形 A'B'C'D'，它们的面积之比为 36:25，则相似比为；若四边形 A'B'C'D'的周长为 15 cm，则四边形 ABCD 的周长为.

6.6:5　18cm

6:5；18cm

7. (2024·云南)如图，AB 与 CD 交于点 O，且 AC//BD.若 $ \frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD}=\frac{1}{2} $，则 $ \frac{AC}{BD}= $.
]

7.$\frac{1}{2}$

证明：因为 $AC // BD$，所以 $△ AOC ∼ △ BOD$。
设 $△ AOC$ 与 $△ BOD$ 的相似比为 $k$，则 $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} = \frac{AC}{BD} = k$。
所以 $OA = k · OB$，$OC = k · OD$，$AC = k · BD$。
因为 $\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，
所以 $\frac{k · OB + k · OD + k · BD}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，
即 $\frac{k(OB + OD + BD)}{OB + OD + BD} = k = \frac{1}{2}$。
因此，$\frac{AC}{BD} = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$

8. 如图，△ABO 的顶点 A 在函数 $ y=\frac{k}{x}(x ＜ 0) $的图像上，∠ABO = 90°，过 AO 边的三等分点 M，N 分别作 x 轴的平行线交 AB 于点 P，Q.若四边形 MNQP 的面积为 3，则 k 的值为.
]

8.−18