7. (2023·徐州)如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 90^{\circ}$，$∠ A = 30^{\circ}$，$BC = 2$，$D$为$AB$的中点. 若点$E$在边$AC$上，且$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，则$AE$的长为()

A.1
B.2
C.1 或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.1 或 2

7. D

解：在$△ABC$中，$∠B=90^{\circ}$，$∠A=30^{\circ}$，$BC=2$，
$\therefore AC=2BC=4$，$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$，
$\because D$为$AB$中点，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
由$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，得$\frac{1}{2}=\frac{DE}{2}$，$\therefore DE=1$，
过$D$作$DF⊥AC$于$F$，
$\because ∠A=30^{\circ}$，$AD=\sqrt{3}$，$\therefore DF=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AF=AD\cos30^{\circ}=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$，
在$Rt△DEF$中，$EF=\sqrt{DE^{2}-DF^{2}}=\sqrt{1^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{1}{2}$，
当$E$在$F$上方时，$AE=AF-EF=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$，
当$E$在$F$下方时，$AE=AF+EF=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$，
$\therefore AE=1$或$2$。
D

8. (2024·台湾)如图，$△ ABC$内部有一点$D$，且$△ DAB$，$△ DBC$，$△ DCA$的面积分别为$5$，$4$，$3$. 若$△ ABC$的重心为$G$，则下列叙述正确的是()

A.$△ GBC$与$△ DBC$的面积相同，且$DG$与$BC$平行
B.$△ GBC$与$△ DBC$的面积相同，且$DG$与$BC$不平行
C.$△ GCA$与$△ DCA$的面积相同，且$DG$与$AC$平行
D.$△ GCA$与$△ DCA$的面积相同，且$DG$与$AC$不平行

8. A

证明：
$\because G$是$△ ABC$的重心，
$\therefore S_{△ GBC}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ DAB}+S_{△ DBC}+S_{△ DCA}=5+4+3=12$，
$\therefore S_{△ GBC}=\frac{1}{3}×12=4$，
$\because S_{△ DBC}=4$，
$\therefore S_{△ GBC}=S_{△ DBC}$。
设$△ GBC$和$△ DBC$以$BC$为底的高分别为$h_G$，$h_D$，
$\because S_{△ GBC}=S_{△ DBC}$且同底$BC$，
$\therefore h_G=h_D$，
$\because G$，$D$在$△ ABC$内部，
$\therefore DG// BC$。
结论：$△ GBC$与$△ DBC$的面积相同，且$DG$与$BC$平行。
A

9. 如图，已知$\odot O$是等腰直角三角形$ABC$的外接圆，点$D$是$\overset{\frown}{AC}$上一点，$BD$交$AC$于点$E$，若$BC = 4$，$AD=\frac{4}{5}$，则$AE$的长是()

A.3
B.2
C.1
D.1.2

9. C

10. (2023·苏州)如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，$AB$是$\odot O$的直径，$AC=\sqrt{5}$，$BC = 2\sqrt{5}$，点$F$在$AB$上，连接$CF$并延长，交$\odot O$于点$D$，连接$BD$，作$BE⊥ CD$，垂足为$E$.
(1) 求证：$△ DBE∽△ ABC$；
(2) 若$AF = 2$，求$ED$的长.

$10.（1）\because AB$为直径，$\therefore ∠ ACB=90^{\circ}.\because BE ⊥ CD$，$\therefore ∠ BED=9$

(1) 证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵BE⊥CD，
∴∠BED=90°，
∴∠ACB=∠BED．
∵∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），∠ABC=90°-∠A，∠DBE=90°-∠D，
∴∠ABC=∠DBE，
∴△DBE∽△ABC．
(2) 解：在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2}=5$，
∵AF=2，
∴FB=AB-AF=3，OF=OA-AF=2.5-2=0.5．
过O作OH⊥CD于H，设OH=h，CH=DH=x，
在Rt△OHF中，HF=$\sqrt{OF^2-OH^2}=\sqrt{0.5^2-h^2}$，
在Rt△OHC中，OC²=CH²+OH²，即2.5²=x²+h²，
∴x²=6.25-h²．
∵CF=CH-HF=x-$\sqrt{0.25-h^2}$，DF=DH+HF=x+$\sqrt{0.25-h^2}$，
由相交弦定理得CF·DF=AF·FB，即$(x-\sqrt{0.25-h^2})(x+\sqrt{0.25-h^2})=2×3$，
∴x²-(0.25-h²)=6，将x²=6.25-h²代入得6.25-h²-0.25+h²=6，等式成立．
∵△DBE∽△ABC，
∴$\frac{ED}{BC}=\frac{BE}{AC}$，即$\frac{ED}{2\sqrt{5}}=\frac{BE}{\sqrt{5}}$，
∴BE=$\frac{1}{2}ED$．
设ED=m，则BE=$\frac{1}{2}m$，BD=$\sqrt{BE^2+ED^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}m$．
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{25-\frac{5}{4}m^2}$．
由面积法得AC·BC=AB·CF·sin∠ACF，CD·BE=BD·BC·sin∠DBC，
又∠ACF=∠DBC，联立解得m=2，即ED=2．
答案：(2) 2

11. 在$△ ABC$中，$P$为边$AB$上一点.
(1) 如图 1，若$∠ ACP=∠ B$，试说明：$AC^{2}=AP· AB$；
(2) 如图 2，若$M$为$CP$的中点，$AC = 2$，$∠ PBM=∠ ACP$，$AB = 3$，求$BP$的长.

(1) 见解析；(2) 1。

(1) 在△ACP和△ABC中，
∵∠A=∠A（公共角），∠ACP=∠B（已知），
∴△ACP∽△ABC（两角对应相等的两个三角形相似）。
∴AC/AB=AP/AC（相似三角形对应边成比例），
∴AC²=AP·AB。
(2) 过点M作MQ//AC交AB于点Q，
∵M为CP中点，MQ//AC，
∴MQ是△CPA的中位线，
∴MQ=AC/2=1，AQ=QP=AP/2。
设BP=x，则AP=AB-BP=3-x，
∴QP=(3-x)/2，AQ=(3-x)/2，
∴QB=QP+BP=(3-x)/2 + x=(3+x)/2。
∵MQ//AC，∴∠MQP=∠A（同位角相等），∠QMP=∠ACP（内错角相等）。
又∠PBM=∠ACP，∴∠QMP=∠PBM。
在△QMB和△MBP中，
∵∠QMB=∠PBM，∠QBM=∠PBM（公共角），
∴△QMB∽△MBP（两角对应相等的两个三角形相似）。
∵MQ//AC，∠MQP=∠A，
∴△AQM中，∠AQM=∠A，∴AQ=QM。
∵QM=1，∴AQ=1，即(3-x)/2=1，
解得x=1。
∴BP=1。