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9. (2024·新疆)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E， $ \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD} $.
(1) 求证：△ACD∽△ECB；
(2) 若 AC = 3，BC = 1，求 CE 的长.
]
(1) 求证：△ACD∽△ECB；
(2) 若 AC = 3，BC = 1，求 CE 的长.
]
答案
9.(1)
∵$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴∠ACD=∠BCE，
∵∠ADC=∠EBC，
∴△ACD∽△ECB； (2)过B点作BH⊥CD于H点，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{BC²+AC²}$=$\sqrt{1²+3²}$=$\sqrt{10}$，
∵∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{10}$=$\sqrt{5}$，在Rt△BCH中，
∵∠BCH=45°，
∴CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，在Rt△BDH中，DH=$\sqrt{BD²−BH²}$=$\sqrt{(\sqrt{5})²−(\frac{\sqrt{2}}{2})²}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=CH+DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
∵△ACD∽△ECB，
∴CA:CE=CD:CB，即3:CE=2$\sqrt{2}$:1，解得CE=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，即CE的长为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$.
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，翻折∠C，使点 C 在斜边 AB 上的某一点 D 处，折痕为 EF(点 E，F 分别在边 AC，BC 上).
(1) 若△CEF 与△ABC 相似.
① 当 AC = BC = 2 时，AD 的长为
② 当 AC = 3，BC = 4 时，AD 的长为
(2) 当点 D 是 AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗? 说明理由.
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(1) 若△CEF 与△ABC 相似.
① 当 AC = BC = 2 时，AD 的长为
$\sqrt{2}$
；② 当 AC = 3，BC = 4 时，AD 的长为
1.8或2.5
；(2) 当点 D 是 AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗? 说明理由.
]
答案
10.(1)①$\sqrt{2}$ ②1.8或2.5 (2)相似.连接CD，与EF交于点O.
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB.
∴∠DCB=∠B.由折叠知，
∴∠COF=∠DOF=90°，∠DCB+∠CFE=90°.
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A.又
∵∠C=∠C，
∴△CEF∽△CBA.
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB.
∴∠DCB=∠B.由折叠知，
∴∠COF=∠DOF=90°，∠DCB+∠CFE=90°.
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A.又
∵∠C=∠C，
∴△CEF∽△CBA.
11. 如图，△ABC 与△A'B'C'都是等腰三角形，且 AB = AC = 5，A'B' = A'C' = 3，若∠B + ∠B' = 90°，则△ABC 与△A'B'C'的面积比为(
A.25:9
B.5:3
C.$ \sqrt{5}:\sqrt{3} $
D.$ 5\sqrt{5}:3\sqrt{3} $
A
)A.25:9
B.5:3
C.$ \sqrt{5}:\sqrt{3} $
D.$ 5\sqrt{5}:3\sqrt{3} $
答案
11.A
解析
解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，过点$A'$作$A'D' ⊥ B'C'$于点$D'$。
在等腰$△ ABC$中，$AB = AC = 5$，则$∠ B=∠ C$，$BD = DC$。在$Rt△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{5}$，$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{BD}{5}$，故$AD = 5\sin B$，$BC = 2BD = 10\cos B$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 10\cos B × 5\sin B = 25\sin B\cos B$。
在等腰$△ A'B'C'$中，$A'B' = A'C' = 3$，则$∠ B'=∠ C'$，$B'D' = D'C'$。在$Rt△ A'B'D'$中，$\sin B'=\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{A'D'}{3}$，$\cos B'=\frac{B'D'}{A'B'}=\frac{B'D'}{3}$，故$A'D' = 3\sin B'$，$B'C' = 2B'D' = 6\cos B'$，$S_{△ A'B'C'}=\frac{1}{2} × B'C' × A'D'=\frac{1}{2} × 6\cos B' × 3\sin B' = 9\sin B'\cos B'$。
因为$∠ B + ∠ B' = 90°$，所以$∠ B' = 90° - ∠ B$，则$\sin B' = \cos B$，$\cos B' = \sin B$，故$\sin B'\cos B' = \sin B\cos B$。
因此，$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=\frac{25\sin B\cos B}{9\sin B'\cos B'}=\frac{25}{9}$，即面积比为$25:9$。
答案：A
在等腰$△ ABC$中，$AB = AC = 5$，则$∠ B=∠ C$，$BD = DC$。在$Rt△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{5}$，$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{BD}{5}$，故$AD = 5\sin B$，$BC = 2BD = 10\cos B$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 10\cos B × 5\sin B = 25\sin B\cos B$。
在等腰$△ A'B'C'$中，$A'B' = A'C' = 3$，则$∠ B'=∠ C'$，$B'D' = D'C'$。在$Rt△ A'B'D'$中，$\sin B'=\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{A'D'}{3}$，$\cos B'=\frac{B'D'}{A'B'}=\frac{B'D'}{3}$，故$A'D' = 3\sin B'$，$B'C' = 2B'D' = 6\cos B'$，$S_{△ A'B'C'}=\frac{1}{2} × B'C' × A'D'=\frac{1}{2} × 6\cos B' × 3\sin B' = 9\sin B'\cos B'$。
因为$∠ B + ∠ B' = 90°$，所以$∠ B' = 90° - ∠ B$，则$\sin B' = \cos B$，$\cos B' = \sin B$，故$\sin B'\cos B' = \sin B\cos B$。
因此，$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=\frac{25\sin B\cos B}{9\sin B'\cos B'}=\frac{25}{9}$，即面积比为$25:9$。
答案：A
12. (2024·辽宁)如图，AB//CD，AD 与 BC 相交于点 O，且△AOB 与△DOC 的面积比是 1:4，若 AB = 6，则 CD 的长为
]
12
.]
答案
12.12
解析
证明：
∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△AOB∽△DOC，
∵△AOB与△DOC的面积比是1:4，
∴$\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ DOC}}=(\frac{AB}{CD})^2=\frac{1}{4}$，
∵AB=6，
∴$(\frac{6}{CD})^2=\frac{1}{4}$，
解得CD=12（负值舍去）.
故CD的长为12.
∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△AOB∽△DOC，
∵△AOB与△DOC的面积比是1:4，
∴$\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ DOC}}=(\frac{AB}{CD})^2=\frac{1}{4}$，
∵AB=6，
∴$(\frac{6}{CD})^2=\frac{1}{4}$，
解得CD=12（负值舍去）.
故CD的长为12.
13. 如图，D 是等边三角形 ABC 边 AB 上的点，AD = 2，BD = 4.现将△ABC 折叠，使得点 C 与点 D 重合，折痕为 EF，且点 E，F 分别在边 AC 和 BC 上，则 $ \frac{CF}{CE}= $
$\frac{5}{4}$
.答案
13.$\frac{5}{4}$
解析
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=AD+BD=6，∠A=∠B=∠C=60°．
由折叠性质得：DE=CE，DF=CF，设CE=DE=x，CF=DF=y，则AE=6-x，BF=6-y．
在△ADE中，由余弦定理得：
$DE^2=AD^2+AE^2-2· AD· AE·\cos60°$，
即$x^2=2^2+(6-x)^2-2×2×(6-x)×\frac{1}{2}$，
化简得$x^2=4+36-12x+x^2-12+2x$，
解得$x=\frac{14}{5}$．
在△BDF中，由余弦定理得：
$DF^2=BD^2+BF^2-2· BD· BF·\cos60°$，
即$y^2=4^2+(6-y)^2-2×4×(6-y)×\frac{1}{2}$，
化简得$y^2=16+36-12y+y^2-24+4y$，
解得$y=\frac{7}{2}$．
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{y}{x}=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{14}{5}}=\frac{5}{4}$．
$\frac{5}{4}$
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=AD+BD=6，∠A=∠B=∠C=60°．
由折叠性质得：DE=CE，DF=CF，设CE=DE=x，CF=DF=y，则AE=6-x，BF=6-y．
在△ADE中，由余弦定理得：
$DE^2=AD^2+AE^2-2· AD· AE·\cos60°$，
即$x^2=2^2+(6-x)^2-2×2×(6-x)×\frac{1}{2}$，
化简得$x^2=4+36-12x+x^2-12+2x$，
解得$x=\frac{14}{5}$．
在△BDF中，由余弦定理得：
$DF^2=BD^2+BF^2-2· BD· BF·\cos60°$，
即$y^2=4^2+(6-y)^2-2×4×(6-y)×\frac{1}{2}$，
化简得$y^2=16+36-12y+y^2-24+4y$，
解得$y=\frac{7}{2}$．
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{y}{x}=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{14}{5}}=\frac{5}{4}$．
$\frac{5}{4}$
