14. (2023·云南)如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上异于 B，C 的点.⊙O 外的点 E 在射线 CB 上，直线 EA 与 CD 垂直，垂足为 D，且 DA·AC = DC·AB.设△ABE 的面积为 $ S_1 $，△ACD 的面积为 $ S_2 $.
(1) 判断直线 EA 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
(2) 若 BC = BE， $ S_2 = mS_1 $，求常数 m 的值.

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14.(1)AE与⊙O相切，理由如下:如图，连接OA，
∵DA·AC=DC·AB，
∴$\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{AC}$.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°=∠ADC，
∴△ABC∽△DAC，
∴∠ACB=∠ACD.
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACB=∠ACD，
∴OA//CD，
∴∠OAE=∠CDE=90°，
∴OA⊥DE.又
∵OA为半径，
∴AE与⊙O相切；(2)如图，
∵OA//CD，
∴△AOE∽△DCE，
∴$\frac{AO}{CD}=\frac{OE}{EC}$.设BO=OC=OA=a，则BC=2a，
∵BC=BE=2a，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ABC}$，EO=3a，EC=4a，
∴$\frac{a}{CD}=\frac{3a}{4a}$，
∴CD=$\frac{4}{3}$a.
∵△ABC∽△DAC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CD}$，
∴$AC²=BC·CD=\frac{8}{3}a²$.
∵△ABC∽△DAC，
∴$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AC}{BC})²=\frac{2}{3}$，
∴$S_2=\frac{2}{3}S_1$，
∴$m=\frac{2}{3}$.

15. 如图 1，已知四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AD 上，AE = AB，EC 与 BD 相交于点 F，且 BD⊥EC.
(1) 连接 BE，求证：△AFD∽△BED；
(2) 如图 2，延长 AF 交 CD 于点 G，求∠DFG 的度数；
(3) 若 AD = 1，求 AB 的长.

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15.(1)
∵四边形ABCD是矩形，BD⊥EC，
∴∠DFE=∠DAB=90°，
∵∠FDE=∠ADB，
∴△FDE∽△ADB，
∴$\frac{DF}{AD}=\frac{DE}{BD}$，
∵∠EDB=∠FDA，
∴△AFD∽△BED；　　(2)
∵△AFD∽△BED，
∴∠DFA=∠DEB，
∴∠BEA=∠BFA，
∵AE=AB，∠DAB=90°，
∴∠BEA=45°，
∴∠BFA=45°，
∴∠DFG=∠BFA=45°；　(3)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠CDE=∠DAB=90°，
∵BD⊥EC，
∴∠ADB=∠DCE，
∴△CDE∽△DAB，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{DE}{AB}$，设AB的长为x，则DE=1−x，
∴$\frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}$，解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(舍去)，
∴AB的长为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.