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7. (2024·贵州)某超市购入一批进价为 10 元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量 $ y $(盒)与销售单价 $ x $(元)是一次函数关系,下表是 $ y $ 与 $ x $ 的几组对应值.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式;
(2) 糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少?
(3) 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 $ m $ 元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元,求 $ m $ 的值.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式;
(2) 糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少?
(3) 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 $ m $ 元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元,求 $ m $ 的值.
答案
7. (1) 设 $y = kx + b(k ≠ 0)$，$\therefore \begin{cases} 12k + b = 56, \\ 14k + b = 52. \end{cases}$ 解得 $ \begin{cases} k = -2, \\ b = 80. \end{cases}$ $ \therefore y = -2x + 80$；
(2) 设日销售利润为 $w$ 元. $w = (x - 10)(-2x + 80) = -2x^{2} + 100x - 800 = -2(x^{2} - 50x + 625) - 800 + 1250 = -2(x - 25)^{2} + 450$.
答：糖果销售单价定为 25 元时，所获日销售利润最大，最大利润是 450 元；
(3) $w = (x - 10 - m)(-2x + 80) = -2x^{2} + (100 + 2m)x - 800 - 80m$.
$\because$ 最大利润为 392 元，$\therefore \frac{4 × (-2)(-800 - 80m) - (100 + 2m)^{2}}{4 × (-2)} = 392$.
整理得 $m^{2} - 60m + 116 = 0$，即 $(m - 2)(m - 58) = 0$，解得 $m_{1} = 2$，$m_{2} = 58$.
当 $m = 58$ 时，$x = -\frac{b}{2a} = 54$，$\therefore$ 每盒糖果的利润 $ = 54 - 10 - 58 = -14$（元），$\therefore$ 舍去.
答：$m = 2$.
(2) 设日销售利润为 $w$ 元. $w = (x - 10)(-2x + 80) = -2x^{2} + 100x - 800 = -2(x^{2} - 50x + 625) - 800 + 1250 = -2(x - 25)^{2} + 450$.
答：糖果销售单价定为 25 元时，所获日销售利润最大，最大利润是 450 元；
(3) $w = (x - 10 - m)(-2x + 80) = -2x^{2} + (100 + 2m)x - 800 - 80m$.
$\because$ 最大利润为 392 元，$\therefore \frac{4 × (-2)(-800 - 80m) - (100 + 2m)^{2}}{4 × (-2)} = 392$.
整理得 $m^{2} - 60m + 116 = 0$，即 $(m - 2)(m - 58) = 0$，解得 $m_{1} = 2$，$m_{2} = 58$.
当 $m = 58$ 时，$x = -\frac{b}{2a} = 54$，$\therefore$ 每盒糖果的利润 $ = 54 - 10 - 58 = -14$（元），$\therefore$ 舍去.
答：$m = 2$.
