4. (2024·烟台)每年 5 月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅,计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利 200 元时,每天可售出 60 辆;单价每降低 10 元,每天可多售出 4 辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于 180 元.设每辆轮椅降价 $ x $ 元,每天的销售利润为 $ y $ 元.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大? 最大利润为多少元?
(2) 全国助残日当天,公司共获得销售利润 12 160 元,请问这天售出了多少辆轮椅?

4. (1) $y = (200 - x) · (60 + 4 × \frac{x}{10}) = -0.4x^{2} + 20x + 12000 = -0.4(x^{2} - 50x + 625) + 12250 = -0.4(x - 25)^{2} + 12250$.
$\because 200 - x ≥ 180$，$\therefore x ≤ 20$，$\therefore$ 当 $x = 20$ 时，利润最大，最大利润为 $-0.4(20 - 25)^{2} + 12250 = 12240$（元）.
答：$y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = -0.4x^{2} + 20x + 12000$；每辆轮椅降价 20 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 12240 元；
(2) $12160 = -0.4(x - 25)^{2} + 12250$，$0.4(x - 25)^{2} = 12250 - 12160$，$0.4(x - 25)^{2} = 90$，$(x - 25)^{2} = 225$.
解得：$x_{1} = 40$（不合题意，舍去），$x_{2} = 10$.
$\therefore$ 售出轮椅的辆数为：$60 + 4 × \frac{10}{10} = 64$（辆）.
答：这天售出了 64 辆轮椅.

5. 生产季节性产品的企业,当它的产品无利润或亏损时就会及时停产,某公司生产季节性产品,一年中第 $ n $ 月获得的利润 $ y $ 和对应月份 $ n $ 之间的函数表达式为 $ y = -n^2 + 12n - 11 $,则该公司一年 12 个月中应停产的所有月份是 ()

A.6
B.1,11
C.1,6,11
D.1,11,12

5. D

令$y = -n^2 + 12n - 11 ≤ 0$，即$n^2 - 12n + 11 ≥ 0$。
因式分解得$(n - 1)(n - 11) ≥ 0$，解得$n ≤ 1$或$n ≥ 11$。
因为$n$为月份，$n = 1,2,···,12$，所以$n = 1,11,12$。
D

6. (2024·山西)问题情境:如图 1,矩形 $ MNKL $ 是学校花园的示意图,其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段 $ AB $ 组成的封闭图形,点 $ A $,$ B $ 在矩形的边 $ MN $ 上.现要对该花坛内种植区域进行划分,以种植不同花卉,学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计:如图 2,$ AB = 6 $ 米,$ AB $ 的垂直平分线与抛物线交于点 $ P $,与 $ AB $ 交于点 $ O $,点 $ P $ 是抛物线的顶点,且 $ PO = 9 $ 米. 欣欣设计的方案如下:
第一步:在线段 $ OP $ 上确定点 $ C $,使 $ ∠ ACB = 90° $,用篱笆沿线段 $ AC $,$ BC $ 分隔出 $ △ ABC $ 区域,种植串串红;
第二步:在线段 $ CP $ 上取点 $ F $(不与 $ C $,$ P $ 重合),过点 $ F $ 作 $ AB $ 的平行线,交抛物线于点 $ D $,$ E $. 用篱笆沿 $ DE $,$ CF $ 将线段 $ AC $,$ BC $ 与抛物线围成的区域分隔成三部分,分别种植不同花色的月季.
方案实施:学校采用了欣欣的方案,在完成第一步 $ △ ABC $ 区域的分隔后,发现仅剩 6 米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完 6 米材料,需确定 $ DE $ 与 $ CF $ 的长.为此,欣欣在图 2 中以 $ AB $ 所在直线为 $ x $ 轴,$ OP $ 所在直线为 $ y $ 轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题:
(1) 在图 2 中画出坐标系,并求抛物线的函数表达式;
(2) 求 6 米材料恰好用完时 $ DE $ 与 $ CF $ 的长;
(3) 种植区域分隔完成后,欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰,计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图 2 设计矩形四个顶点的位置,其中两个顶点在抛物线上,另外两个顶点分别在线段 $ AC $,$ BC $ 上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.

6. (1) 建立如图 1 所示的平面直角坐标系，$\because OP$ 所在直线是 $AB$ 的垂直平分线，且 $AB = 6$，$\therefore OA = OB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3$，$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$.
$\because OP = 9$，$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(0,9)$.
$\because$ 点 $P$ 是抛物线的顶点，$\therefore$ 设抛物线的函数表达式为 $y = ax^{2} + 9$.
$\because$ 点 $B(3,0)$ 在抛物线 $y = ax^{2} + 9$ 上，$\therefore 9a + 9 = 0$，解得 $a = -1$，$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y = -x^{2} + 9(-3 ≤ x ≤ 3)$；
(2) 点 $D$，$E$ 在抛物线 $y = -x^{2} + 9$ 上，$\therefore$ 设点 $E$ 的坐标为 $(m, -m^{2} + 9)$.
$\because DE // AB$，交 $y$ 轴于点 $F$，$\therefore DF = EF = m$，$OF = -m^{2} + 9$，$\therefore DE = 2m$.
$\because$ 在 $Rt △ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$OA = OB$，$\therefore OC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3$，$\therefore CF = OF - OC = -m^{2} + 9 - 3 = -m^{2} + 6$，根据题意，得 $DE + CF = 6$，$\therefore -m^{2} + 6 + 2m = 6$，解得 $m_{1} = 2$，$m = 0$（不符合题意，舍去），$\therefore m = 2$，$\therefore DE = 2m = 4$，$CF = -m^{2} + 6 = 2$.
答：$DE$ 的长为 4 米，$CF$ 的长为 2 米；
(3) 如图 2 矩形灯带为 $GHML$，由点 $A$，$B$，$C$ 的坐标得，直线 $AC$ 和 $BC$ 的表达式分别为 $y = x + 3$，$y = -x + 3$，设点 $G(n, -n^{2} + 9)$，$H(-n, -n^{2} + 9)$，$L(n, n + 3)$，$M(-n, n + 3)$，则矩形周长 $ = 2(GH + GL) = 2(-2n - n^{2} + 9 - n - 3) = -2(n + 1.5)^{2} + \frac{33}{2}$，故矩形周长的最大值为 $\frac{33}{2}$ 米.