1. 生物学研究表明:在一定的温度范围内,酶的活性会随温度的升高逐渐增强,在最适宜温度时,酶的活性最强,超过一定温度范围时,酶的活性又随温度的升高逐晰减弱,甚至会失去活性.现已知某种酶的活性值 $ y $ (单位:IU) 与温度 $ t $ (单位:$ {°}C $) 的关系可以近似用二次函数 $ y = -\frac{1}{2}t^2 + 14t + 142 $ 来表示. 则当温度为最适宜时,该种酶的活性值为 ()

A.14
B.$ \frac{7}{2} $
C.240
D.44

1. C

对于二次函数$y = -\frac{1}{2}t^2 + 14t + 142$，其中$a=-\frac{1}{2}$，$b=14$，$c=142$。
因为$a=-\frac{1}{2}＜0$，所以抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，此时温度为最适宜温度。
顶点的横坐标$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{14}{2×(-\frac{1}{2})} = 14$。
将$t = 14$代入函数可得：
$y = -\frac{1}{2}×14^2 + 14×14 + 142$
$= -\frac{1}{2}×196 + 196 + 142$
$= -98 + 196 + 142$
$= 98 + 142$
$= 240$
C

2. 某茶杯过最低点 $ B $ 的竖直截面如图所示,其中杯体竖直截面 $ ABC $ 呈抛物线形状(杯体厚度忽略不计),点 $ A $、点 $ C $ 位于杯口处,且 $ AC = 10 \, \mathrm{cm} $、点 $ B $ 是抛物线最低点,当茶杯装满茶水时,茶水的最大深度(点 $ B $ 到 $ AC $ 的距离)为 $ 4 \, \mathrm{cm} $,将茶水倒出一部分后,茶水的最大深度恰好为 $ 2 \, \mathrm{cm} $(点 $ B $ 到 $ EF $ 的距离),求此时 $ EF $ 的长度为 $ \mathrm{cm} $.

2. $5\sqrt{2}$

解：以点$B$为原点，竖直向上为$y$轴正方向，水平方向为$x$轴建立平面直角坐标系。
设抛物线方程为$y = ax^2$。
因为$AC = 10\,\mathrm{cm}$，点$B$到$AC$的距离为$4\,\mathrm{cm}$，所以点$A(-5,4)$，$C(5,4)$。
将$A(-5,4)$代入$y = ax^2$，得$4 = a×(-5)^2$，解得$a=\dfrac{4}{25}$，抛物线方程为$y=\dfrac{4}{25}x^2$。
当茶水最大深度为$2\,\mathrm{cm}$时，$y = 2$，代入抛物线方程得$2=\dfrac{4}{25}x^2$，解得$x=\pm\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$。
则$EF$的长度为$\left|\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-(-\dfrac{5\sqrt{2}}{2})\right| = 5\sqrt{2}\,\mathrm{cm}$。
$5\sqrt{2}$

3. 如图所示是永州八景之一的愚溪桥,桥身横跨愚溪,面临潇水,桥下冬暖夏凉,常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线形,在正常水位下测得主拱宽 $ 24 \, \mathrm{m} $,最高点离水面 $ 8 \, \mathrm{m} $,以水平线 $ AB $ 为 $ x $ 轴,$ AB $ 的中点为原点建立坐标系.
(1) 求此桥拱所在抛物线对应的函数关系式;
(2) 桥边有一浮在水面部分高 $ 4 \, \mathrm{m} $,最宽处 $ 12 \, \mathrm{m} $ 的渔船,试探索此船能否开到桥下? 说明理由.

3. (1) $y = -\frac{1}{18}x^{2} + 8$
(2) 此船能开到桥下，理由：当 $y = 4$ 时，$4 = -\frac{1}{18}x^{2} + 8$，解得 $x_{1} = -6\sqrt{2}$，$x_{2} = 6\sqrt{2}$，高出水面 4 m 处，桥宽 $12\sqrt{2} \mathrm{ m} ＞ 12 \mathrm{ m}$，所以此船在正常水位时可以开到桥下.