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15. (2024·广西)课堂上，数学老师组织同学们围绕关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $ 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1) 老师给出 $ a = -4 $，求二次函数 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $ 的最小值.
① 请你写出对应的函数解析式；
② 求当 $ x $ 取何值时，函数 $ y $ 有最小值，并写出此时的 $ y $ 值；
【举一反三】老师给出更多 $ a $ 的值，同学们即求出对应的函数在 $ x $ 取何值时，$ y $ 的最小值. 记录结果，并整理成如表：
注：$ * $ 为②的计算结果.
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了 $ a $ 值后，我们只要取 $ x = -a $，就能得到 $ y $ 的最小值.”
乙同学：“我发现，$ y $ 的最小值随 $ a $ 值的变化而变化，当 $ a $ 由小变大时，$ y $ 的最小值先增大后减小，所以我猜想 $ y $ 的最小值中存在最大值.”
(2) 请结合函数解析式 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $，解释甲同学的说法是否合理？
(3) 你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1) 老师给出 $ a = -4 $，求二次函数 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $ 的最小值.
① 请你写出对应的函数解析式；
② 求当 $ x $ 取何值时，函数 $ y $ 有最小值，并写出此时的 $ y $ 值；
【举一反三】老师给出更多 $ a $ 的值，同学们即求出对应的函数在 $ x $ 取何值时，$ y $ 的最小值. 记录结果，并整理成如表：
注：$ * $ 为②的计算结果.
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了 $ a $ 值后，我们只要取 $ x = -a $，就能得到 $ y $ 的最小值.”
乙同学：“我发现，$ y $ 的最小值随 $ a $ 值的变化而变化，当 $ a $ 由小变大时，$ y $ 的最小值先增大后减小，所以我猜想 $ y $ 的最小值中存在最大值.”
(2) 请结合函数解析式 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $，解释甲同学的说法是否合理？
(3) 你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.
答案
15. (1) ①$a=-4,y=x^{2}+2ax+a-3=x^{2}-8x-7$；② 当$x=-\frac {b}{2a}=4$时,y 取得最小值为$16-32-7=-23$；（2）合理,理由:$\because 1＞0$,故函数有最小值,当$x=-\frac {b}{2a}=-a$时,y 取得最小值,故甲同学的说法合理；（3）正确,理由:当$x=-a$时,$y=x^{2}+2ax+a-3=-a^{2}+a-3,\because -1＜0$,故 y 有最大值,当$a=\frac {1}{2}$时,y 的最大值为$-\frac {1}{4}+\frac {1}{2}-3=-\frac {11}{4}.$
解析
(1) ①当$a = -4$时，函数解析式为$y = x^2 - 8x - 7$；②当$x = 4$时，$y$的最小值为$-23$；
(2) 合理，理由：$\because 1＞0$，函数开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-a$，$\therefore$当$x = -a$时，$y$取得最小值，故甲同学的说法合理；
(3) 正确，当$x=-a$时，$y=-a^2 + a - 3$，$\because -1＜0$，$\therefore$当$a=\frac{1}{2}$时，$y$的最大值为$-\frac{11}{4}$。
(2) 合理，理由：$\because 1＞0$，函数开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-a$，$\therefore$当$x = -a$时，$y$取得最小值，故甲同学的说法合理；
(3) 正确，当$x=-a$时，$y=-a^2 + a - 3$，$\because -1＜0$，$\therefore$当$a=\frac{1}{2}$时，$y$的最大值为$-\frac{11}{4}$。
16. (2023·湖北)已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ＜ 0) $ 的图像与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (-1, 0) $，对称轴为直线 $ x = 1 $，下列结论中：① $ a - b + c = 0 $；② 若点 $ (-3, y_1) $，$ (2, y_2) $，$ (4, y_3) $ 均在该二次函数图像上，则 $ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $；③ 若 $ m $ 为任意实数，则 $ am^2 + bm + c ≤ -4a $；④ 方程 $ ax^2 + bx + c + 1 = 0 $ 的两实数根为 $ x_1 $，$ x_2 $，且 $ x_1 ＜ x_2 $，则 $ x_1 ＜ -1 $，$ x_2 ＞ 3 $. 正确结论的序号为 (
A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.①④
B
)A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.①④
答案
16. B
解析
①当$x=-1$时，$y=a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$，因为$(-1,0)$在图像上，所以$a - b + c = 0$，①正确。
②对称轴为$x=1$，$a＜0$，开口向下。点$(-3,y_1)$到对称轴距离为$4$，$(2,y_2)$距离为$1$，$(4,y_3)$距离为$3$，距离越远函数值越小，所以$y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$，②错误。
③由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$得$b=-2a$，又$a - b + c = 0$，则$c = -3a$，函数为$y=ax^2 - 2ax - 3a$，顶点纵坐标为$y=a(1)^2 - 2a(1) - 3a = -4a$，因为$a＜0$，开口向下，所以最大值为$-4a$，即$am^2 + bm + c ≤ -4a$，③正确。
④方程$ax^2 + bx + c + 1 = 0$即$y=-1$，顶点纵坐标为$-4a$，$a＜0$，$-4a＞0$，$-1＜0$，抛物线与$x$轴另一交点为$(3,0)$，所以$y=-1$时，$x_1 ＜ -1$，$x_2 ＞ 3$，④正确。
正确结论序号为①③④。
②对称轴为$x=1$，$a＜0$，开口向下。点$(-3,y_1)$到对称轴距离为$4$，$(2,y_2)$距离为$1$，$(4,y_3)$距离为$3$，距离越远函数值越小，所以$y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$，②错误。
③由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$得$b=-2a$，又$a - b + c = 0$，则$c = -3a$，函数为$y=ax^2 - 2ax - 3a$，顶点纵坐标为$y=a(1)^2 - 2a(1) - 3a = -4a$，因为$a＜0$，开口向下，所以最大值为$-4a$，即$am^2 + bm + c ≤ -4a$，③正确。
④方程$ax^2 + bx + c + 1 = 0$即$y=-1$，顶点纵坐标为$-4a$，$a＜0$，$-4a＞0$，$-1＜0$，抛物线与$x$轴另一交点为$(3,0)$，所以$y=-1$时，$x_1 ＜ -1$，$x_2 ＞ 3$，④正确。
正确结论序号为①③④。
17. (2024·泸州)如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + 3 $ 经过点 $ A(3, 0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，且关于直线 $ x = 1 $ 对称.
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 当 $ -1 ≤ x ≤ t $ 时，$ y $ 的取值范围是 $ 0 ≤ y ≤ 2t - 1 $，求 $ t $ 的值；
(3) 点 $ C $ 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 $ C $ 作 $ x $ 轴的垂线交直线 $ AB $ 于点 $ D $，在 $ y $ 轴上是否存在点 $ E $，使得以 $ B $，$ C $，$ D $，$ E $ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 当 $ -1 ≤ x ≤ t $ 时，$ y $ 的取值范围是 $ 0 ≤ y ≤ 2t - 1 $，求 $ t $ 的值；
(3) 点 $ C $ 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 $ C $ 作 $ x $ 轴的垂线交直线 $ AB $ 于点 $ D $，在 $ y $ 轴上是否存在点 $ E $，使得以 $ B $，$ C $，$ D $，$ E $ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.
答案
17. (1)$A(3,0),\because $抛物线的对称轴为直线$x=1$,则抛物线和 x 轴的另外一个交点为$(-1,0)$,则抛物线的表达式为$y=a(x+1)(x-3)=ax^{2}+bx+3$,解得$a=-1$,则抛物线的表达式为$y=-x^{2}+2x+3$；（2）当$-1≤x≤t$时,$x=-1$时,$y=-x^{2}+2x+3=0$,取得最小值,则$x=t$(t 小于 3)时,y 取得最大值,而抛物线的顶点处取得最大值,抛物线的顶点坐标为$(1,4)$,即$2t-1=4$,解得$t=2.5$；（3）存在,理由:由抛物线的表达式知,点$B(0,3)$,如图,① 当 BC 为菱形对角线时,对应菱形为$BDCE'$,则$BD=CD$,由点 A,B 的坐标得,直线 AB 的表达式为$y=-x+3$,设点$C(x,-x^{2}+2x+3)$,点$D(x,-x+3)$,则$CD=-x^{2}+2x+3-(-x+3)=-x^{2}+3x$,$BD=\sqrt {2}x,BC=\sqrt {x^{2}+(-x^{2}+2x)^{2}},\therefore -x^{2}+3x=\sqrt {2}x$,解得$x=3-\sqrt {2}$或$x=0$(舍去),则$BD=\sqrt {2}x=3\sqrt {2}-2$,即菱形的边长为$3\sqrt {2}-2$.② 当 BD 为菱形的对角线时对应菱形为菱形 BCDE,则$CD=BC,\therefore -x^{2}+3x=\sqrt {x^{2}+(-x^{2}+2x)^{2}}$,解得$x=2$或$x=0$(舍去),则$CD=-x^{2}+3x=-2^{2}+3×2=2$,即菱形的边长为 2.综上,菱形的边长为$3\sqrt {2}-2$或 2.
