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一、选择题
1. 下列有关函数 $ y = (x - 1)^2 + 2 $ 的说法不正确的是(
A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x = 1 $
C.顶点坐标是 $ (-1,2) $
D.函数图像中，当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小
1. 下列有关函数 $ y = (x - 1)^2 + 2 $ 的说法不正确的是(
C
)A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x = 1 $
C.顶点坐标是 $ (-1,2) $
D.函数图像中，当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小
答案
1. C
2. 一次函数 $ y = ax + b $ 的图像如图所示，则二次函数 $ y = ax^2 + bx $ 的图像可能是(
D
)答案
2. D
解析
解：由一次函数$y = ax + b$图像知，$a＜0$，$b＞0$。
二次函数$y = ax^2 + bx$，$a＜0$，开口向下；对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$；与$x$轴交点为$(0,0)$，$(-\frac{b}{a},0)$，$-\frac{b}{a}＞0$。
综上，图像开口向下，对称轴在$y$轴右侧，与$x$轴正半轴有另一交点，符合选项D。
D
二次函数$y = ax^2 + bx$，$a＜0$，开口向下；对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$；与$x$轴交点为$(0,0)$，$(-\frac{b}{a},0)$，$-\frac{b}{a}＞0$。
综上，图像开口向下，对称轴在$y$轴右侧，与$x$轴正半轴有另一交点，符合选项D。
D
3. 已知二次函数 $ y = x^2 - 2x - 3 $ 的自变量 $ x_1,x_2,x_3 $ 对应的函数值分别为 $ y_1,y_2,y_3 $. 当 $ -1 ＜ x_1 ＜ 0,1 ＜ x_2 ＜ 2,x_3 ＞ 3 $ 时，$ y_1,y_2,y_3 $ 三者之间的大小关系是(
A.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
B.$ y_2 ＜ y_3 ＜ y_1 $
C.$ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $
D.$ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $
D
)A.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
B.$ y_2 ＜ y_3 ＜ y_1 $
C.$ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $
D.$ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $
答案
3. D
解析
解：$y=x^2 - 2x - 3=(x - 1)^2 - 4$，对称轴为$x=1$，开口向上。
当$-1 ＜ x_1 ＜ 0$时，$x_1$到对称轴距离为$1 - x_1$，$1 ＜ 1 - x_1 ＜ 2$；
当$1 ＜ x_2 ＜ 2$时，$x_2$到对称轴距离为$x_2 - 1$，$0 ＜ x_2 - 1 ＜ 1$；
当$x_3 ＞ 3$时，$x_3$到对称轴距离为$x_3 - 1$，$x_3 - 1 ＞ 2$。
距离对称轴越近，函数值越小，故$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
D
当$-1 ＜ x_1 ＜ 0$时，$x_1$到对称轴距离为$1 - x_1$，$1 ＜ 1 - x_1 ＜ 2$；
当$1 ＜ x_2 ＜ 2$时，$x_2$到对称轴距离为$x_2 - 1$，$0 ＜ x_2 - 1 ＜ 1$；
当$x_3 ＞ 3$时，$x_3$到对称轴距离为$x_3 - 1$，$x_3 - 1 ＞ 2$。
距离对称轴越近，函数值越小，故$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
D
4. (2024·眉山)定义运算：$ a \otimes b = (a + 2b)(a - b) $，例如 $ 4 \otimes 3 = (4 + 2 × 3)(4 - 3) $，则函数 $ y = (x + 1) \otimes 2 $ 的最小值为(
A.$ -21 $
B.$ -9 $
C.$ -7 $
D.$ -5 $
B
)A.$ -21 $
B.$ -9 $
C.$ -7 $
D.$ -5 $
答案
4. B
解析
由定义运算 $a \otimes b = (a + 2b)(a - b)$，得
$y = (x + 1) \otimes 2 = [(x + 1) + 2 × 2][(x + 1) - 2]$
化简得：
$y = (x + 5)(x - 1) = x^2 + 4x - 5$
配方：$y = (x + 2)^2 - 9$
当 $x = -2$ 时，$y$ 取最小值 $-9$
B
$y = (x + 1) \otimes 2 = [(x + 1) + 2 × 2][(x + 1) - 2]$
化简得：
$y = (x + 5)(x - 1) = x^2 + 4x - 5$
配方：$y = (x + 2)^2 - 9$
当 $x = -2$ 时，$y$ 取最小值 $-9$
B
5. 函数 $ y = ax^2 + 2ax + m(a ＜ 0) $ 的图像过点 $ (2,0) $，则使函数值 $ y ＜ 0 $ 成立的 $ x $ 的取值范围是(
A.$ x ＜ -4 $ 或 $ x ＞ 2 $
B.$ -4 ＜ x ＜ 2 $
C.$ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
D.$ 0 ＜ x ＜ 2 $
A
)A.$ x ＜ -4 $ 或 $ x ＞ 2 $
B.$ -4 ＜ x ＜ 2 $
C.$ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
D.$ 0 ＜ x ＜ 2 $
答案
5. A
解析
解：函数对称轴为$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
已知图像过点$(2,0)$，由对称性得另一交点为$(-4,0)$。
因为$a＜0$，抛物线开口向下，
所以$y＜0$时，$x＜-4$或$x＞2$。
A
已知图像过点$(2,0)$，由对称性得另一交点为$(-4,0)$。
因为$a＜0$，抛物线开口向下，
所以$y＜0$时，$x＜-4$或$x＞2$。
A
6. 抛物线的函数表达式为 $ y = 3(x - 2)^2 + 1 $，若将 $ x $ 轴向上平移 $ 2 $ 个单位长度，将 $ y $ 轴向左平移 $ 3 $ 个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(
A.$ y = 3(x + 1)^2 + 3 $
B.$ y = 3(x - 5)^2 + 3 $
C.$ y = 3(x - 5)^2 - 1 $
D.$ y = 3(x + 1)^2 - 1 $
C
)A.$ y = 3(x + 1)^2 + 3 $
B.$ y = 3(x - 5)^2 + 3 $
C.$ y = 3(x - 5)^2 - 1 $
D.$ y = 3(x + 1)^2 - 1 $
答案
6. C
解析
在原坐标系中，抛物线表达式为$y = 3(x - 2)^2 + 1$。
将$x$轴向上平移$2$个单位长度，相当于所有点的纵坐标减小$2$；将$y$轴向左平移$3$个单位长度，相当于所有点的横坐标增加$3$。
设新坐标系中的点为$(x', y')$，则原坐标系中的对应点为$(x = x' - 3, y = y' + 2)$。
将$x = x' - 3$，$y = y' + 2$代入原抛物线方程：
$y' + 2 = 3((x' - 3) - 2)^2 + 1$
化简得：$y' = 3(x' - 5)^2 - 1$
故新坐标系中抛物线的函数表达式为$y = 3(x - 5)^2 - 1$。
C
将$x$轴向上平移$2$个单位长度，相当于所有点的纵坐标减小$2$；将$y$轴向左平移$3$个单位长度，相当于所有点的横坐标增加$3$。
设新坐标系中的点为$(x', y')$，则原坐标系中的对应点为$(x = x' - 3, y = y' + 2)$。
将$x = x' - 3$，$y = y' + 2$代入原抛物线方程：
$y' + 2 = 3((x' - 3) - 2)^2 + 1$
化简得：$y' = 3(x' - 5)^2 - 1$
故新坐标系中抛物线的函数表达式为$y = 3(x - 5)^2 - 1$。
C
7. (2023·达州)如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $($ a,b,c $ 为常数)关于直线 $ x = 1 $ 对称. 下列五个结论：① $ abc ＞ 0 $；② $ 2a + b = 0 $；③ $ 4a + 2b + c ＞ 0 $；④ $ am^2 + bm ＞ a + b $；⑤ $ 3a + c ＞ 0 $. 其中正确的有(
A.$ 4 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.$ 1 $ 个
B
)A.$ 4 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.$ 1 $ 个
答案
7. B
解析
解：由抛物线开口向上得$a＞0$，对称轴$x=1=-\frac{b}{2a}$，则$b=-2a＜0$，抛物线与$y$轴交于负半轴得$c＜0$。
①$abc=a(-2a)c=-2a^2c$，$a＞0,c＜0$，则$-2a^2c＞0$，①正确；
②$2a+b=2a-2a=0$，②正确；
③抛物线与$x$轴交于$(-1,0)$，对称轴$x=1$，另一交点为$(3,0)$，当$x=2$时，$y=4a+2b+c＜0$，③错误；
④当$m=1$时，$am^2+bm=a+b$，④错误；
⑤当$x=-1$时，$a-b+c=0$，$b=-2a$，则$3a+c=0$，⑤错误。
正确的有①②，共2个。
答案：C
①$abc=a(-2a)c=-2a^2c$，$a＞0,c＜0$，则$-2a^2c＞0$，①正确；
②$2a+b=2a-2a=0$，②正确；
③抛物线与$x$轴交于$(-1,0)$，对称轴$x=1$，另一交点为$(3,0)$，当$x=2$时，$y=4a+2b+c＜0$，③错误；
④当$m=1$时，$am^2+bm=a+b$，④错误；
⑤当$x=-1$时，$a-b+c=0$，$b=-2a$，则$3a+c=0$，⑤错误。
正确的有①②，共2个。
答案：C
8. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像与 $ x $ 轴交于点 $ A(-2,0) $，$ B(4,0) $，若以 $ AB $ 为直径的圆与在 $ x $ 轴下方的抛物线有交点，则 $ a $ 的取值范围是(
A.$ a ≥ \frac{1}{3} $
B.$ a ＞ \frac{1}{3} $
C.$ 0 ＜ a ＜ \frac{1}{3} $
D.$ 0 ＜ a ≤ \frac{1}{3} $
A
)A.$ a ≥ \frac{1}{3} $
B.$ a ＞ \frac{1}{3} $
C.$ 0 ＜ a ＜ \frac{1}{3} $
D.$ 0 ＜ a ≤ \frac{1}{3} $
答案
8. A
解析
∵抛物线与x轴交于A(-2,0)，B(4,0)，
∴设抛物线解析式为$y=a(x+2)(x-4)=ax^2-2ax-8a$。
∵以AB为直径的圆与x轴下方的抛物线有交点，
∴抛物线开口向上，即$a＞0$。
AB中点为$(1,0)$，$AB=6$，圆半径为3，圆方程为$(x-1)^2+y^2=9$。
联立抛物线与圆方程：$(x-1)^2+(ax^2-2ax-8a)^2=9$。
当抛物线顶点在圆上或圆内时满足条件，抛物线顶点为$(1,-9a)$。
顶点到圆心$(1,0)$距离为$| -9a - 0 | = 9|a|$，
∵顶点在x轴下方，
∴$9a ≤ 3$，即$a ≤ \frac{1}{3}$。
又$a＞0$，
∴$0 ＜ a ≤ \frac{1}{3}$。
D
二、填空题
9. 二次函数 $ y = -3x^2 - 2 $ 的最大值为
9. 二次函数 $ y = -3x^2 - 2 $ 的最大值为
$-2$
.答案
9. $-2$
