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10. 在函数 $ y = (x - 1)^2 $ 中，当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而
增大
.(填“增大”或“减小”)答案
10. 增大
11. (2024·长春)若抛物线 $ y = x^2 - x + c $($ c $ 是常数)与 $ x $ 轴没有交点，则 $ c $ 的取值范围是
$c＞\frac{1}{4}$
.答案
11. $c＞\frac{1}{4}$
解析
解：抛物线 $ y = x^2 - x + c $ 与 $ x $ 轴没有交点，即方程 $ x^2 - x + c = 0 $ 无实数根。
对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（$ a ≠ 0 $），判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $。当 $ \Delta ＜ 0 $ 时，方程无实数根。
在方程 $ x^2 - x + c = 0 $ 中，$ a = 1 $，$ b = -1 $，$ c = c $，则：
$ \Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × c = 1 - 4c $
令 $ \Delta ＜ 0 $，即：
$ 1 - 4c ＜ 0 $
解得：
$ -4c ＜ -1 $
$ c ＞ \frac{1}{4} $
$ c＞\frac{1}{4}$
对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（$ a ≠ 0 $），判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $。当 $ \Delta ＜ 0 $ 时，方程无实数根。
在方程 $ x^2 - x + c = 0 $ 中，$ a = 1 $，$ b = -1 $，$ c = c $，则：
$ \Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × c = 1 - 4c $
令 $ \Delta ＜ 0 $，即：
$ 1 - 4c ＜ 0 $
解得：
$ -4c ＜ -1 $
$ c ＞ \frac{1}{4} $
$ c＞\frac{1}{4}$
12. 二次函数 $ y = 2x^2 - bx + 3 $ 的对称轴经过 $ (1,0) $，则 $ b $ 的值为
5
.答案
12. 5
解析
解：二次函数$y = 2x^2 - bx + 3$的对称轴为$x = \frac{b}{4}$。
因为对称轴经过$(1,0)$，所以$\frac{b}{4}=1$，解得$b = 4$。
4
因为对称轴经过$(1,0)$，所以$\frac{b}{4}=1$，解得$b = 4$。
4
13. 如图是二次函数 $ y = ax^2 - x + a^2 - 1 $ 的图像，则 $ a $ 的值是
1
.答案
13. 1
解析
解：因为二次函数图像过原点$(0,0)$，代入$y = ax^2 - x + a^2 - 1$得：$0 = a^2 - 1$，解得$a = 1$或$a = -1$。
又因为抛物线开口向上，所以$a ＞ 0$，故$a = 1$。
1
又因为抛物线开口向上，所以$a ＞ 0$，故$a = 1$。
1
14. 抛物线 $ y = x^2 - 2x + 3 $ 向右平移 $ 2 $ 个单位长度，再向上平移 $ 3 $ 个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是
$(3,5)$
.答案
14. $(3,5)$
解析
解：$y=x^2 - 2x + 3=(x - 1)^2 + 2$，顶点坐标为$(1,2)$。向右平移$2$个单位长度，横坐标变为$1 + 2=3$；向上平移$3$个单位长度，纵坐标变为$2 + 3=5$，得到抛物线的顶点坐标是$(3,5)$。
15. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $ 是二次函数 $ y = a(x - 3)^2 + k $ 的图像与 $ y $ 轴的交点，点 $ B $ 是图像的另一点，且 $ AB // x $ 轴，则以 $ AB $ 为边的等边三角形 $ ABC $ 的周长为
18
.答案
15. 18
解析
解：二次函数$y = a(x - 3)^2 + k$的对称轴为直线$x = 3$。
因为点$A$是抛物线与$y$轴的交点，所以点$A$的横坐标为$0$。
由于$AB // x$轴，点$A$、$B$是抛物线上的两点，根据抛物线的对称性，点$A$与点$B$关于对称轴$x = 3$对称。
点$A$到对称轴$x = 3$的距离为$3 - 0 = 3$，所以点$B$到对称轴$x = 3$的距离也为$3$，则点$B$的横坐标为$3 + 3 = 6$。
因此，$AB$的长度为$6 - 0 = 6$。
因为$△ ABC$是等边三角形，所以其周长为$3 × 6 = 18$。
18
因为点$A$是抛物线与$y$轴的交点，所以点$A$的横坐标为$0$。
由于$AB // x$轴，点$A$、$B$是抛物线上的两点，根据抛物线的对称性，点$A$与点$B$关于对称轴$x = 3$对称。
点$A$到对称轴$x = 3$的距离为$3 - 0 = 3$，所以点$B$到对称轴$x = 3$的距离也为$3$，则点$B$的横坐标为$3 + 3 = 6$。
因此，$AB$的长度为$6 - 0 = 6$。
因为$△ ABC$是等边三角形，所以其周长为$3 × 6 = 18$。
18
16. 已知函数 $ y = \begin{cases}(x - 2)^2 - 2,x ≤ 4, \\ (x - 6)^2 - 2,x ＞ 4,\end{cases}$ 使 $ y = a $ 成立的 $ x $ 的值恰好只有 $ 3 $ 个时，$ a $ 的值为 ______ .
答案
16. 2
解析
当$x ≤ 4$时，$y=(x - 2)^2 - 2$，其图像为开口向上，顶点坐标为$(2,-2)$的抛物线的一部分；当$x ＞ 4$时，$y=(x - 6)^2 - 2$，其图像为开口向上，顶点坐标为$(6,-2)$的抛物线的一部分。
令$y = a$，则：
对于$x ≤ 4$，$(x - 2)^2 - 2 = a$，即$(x - 2)^2 = a + 2$，解得$x = 2 \pm \sqrt{a + 2}$。要使$x ≤ 4$，$2 + \sqrt{a + 2} ≤ 4$，即$\sqrt{a + 2} ≤ 2$，$a + 2 ≤ 4$，$a ≤ 2$时，此方程有两个解（当$a = 2$时，$x = 2 + 2 = 4$，$x = 2 - 2 = 0$）；
对于$x ＞ 4$，$(x - 6)^2 - 2 = a$，即$(x - 6)^2 = a + 2$，解得$x = 6 \pm \sqrt{a + 2}$。要使$x ＞ 4$，$6 - \sqrt{a + 2} ＞ 4$，即$\sqrt{a + 2} ＜ 2$，$a + 2 ＜ 4$，$a ＜ 2$时，此方程有两个解；当$a = 2$时，$x = 6 + 2 = 8$，$x = 6 - 2 = 4$（舍去，因为$x ＞ 4$），此时有一个解。
综上，当$a = 2$时，方程$y = a$共有$2 + 1 = 3$个解。
2
令$y = a$，则：
对于$x ≤ 4$，$(x - 2)^2 - 2 = a$，即$(x - 2)^2 = a + 2$，解得$x = 2 \pm \sqrt{a + 2}$。要使$x ≤ 4$，$2 + \sqrt{a + 2} ≤ 4$，即$\sqrt{a + 2} ≤ 2$，$a + 2 ≤ 4$，$a ≤ 2$时，此方程有两个解（当$a = 2$时，$x = 2 + 2 = 4$，$x = 2 - 2 = 0$）；
对于$x ＞ 4$，$(x - 6)^2 - 2 = a$，即$(x - 6)^2 = a + 2$，解得$x = 6 \pm \sqrt{a + 2}$。要使$x ＞ 4$，$6 - \sqrt{a + 2} ＞ 4$，即$\sqrt{a + 2} ＜ 2$，$a + 2 ＜ 4$，$a ＜ 2$时，此方程有两个解；当$a = 2$时，$x = 6 + 2 = 8$，$x = 6 - 2 = 4$（舍去，因为$x ＞ 4$），此时有一个解。
综上，当$a = 2$时，方程$y = a$共有$2 + 1 = 3$个解。
2
17. 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过 $ A(-3,0) $，$ B(4,0) $ 两点，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a(x - 1)^2 + c = b - bx $ 的解是
$x_{1}=-2,x_{2}=5$
.答案
17. $x_{1}=-2,x_{2}=5$
解析
解：因为抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过$A(-3,0)$，$B(4,0)$两点，所以$ax^2 + bx + c = 0$的解为$x_1=-3$，$x_2=4$。
方程$a(x - 1)^2 + c = b - bx$可化为：
$\begin{aligned}a(x^2 - 2x + 1) + c &= b - bx\\ax^2 - 2ax + a + c &= b - bx\\ax^2 + (-2a + b)x + (a + c - b) &= 0\\a(x^2 - 2x + 1) + bx - b + c &= 0\\a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c &= 0\end{aligned}$
令$t = x - 1$，则方程变为$at^2 + bt + c = 0$，其解为$t_1=-3$，$t_2=4$。
当$t=-3$时，$x - 1=-3$，解得$x=-2$；当$t=4$时，$x - 1=4$，解得$x=5$。
所以方程$a(x - 1)^2 + c = b - bx$的解是$x_1=-2$，$x_2=5$。
$x_{1}=-2,x_{2}=5$
方程$a(x - 1)^2 + c = b - bx$可化为：
$\begin{aligned}a(x^2 - 2x + 1) + c &= b - bx\\ax^2 - 2ax + a + c &= b - bx\\ax^2 + (-2a + b)x + (a + c - b) &= 0\\a(x^2 - 2x + 1) + bx - b + c &= 0\\a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c &= 0\end{aligned}$
令$t = x - 1$，则方程变为$at^2 + bt + c = 0$，其解为$t_1=-3$，$t_2=4$。
当$t=-3$时，$x - 1=-3$，解得$x=-2$；当$t=4$时，$x - 1=4$，解得$x=5$。
所以方程$a(x - 1)^2 + c = b - bx$的解是$x_1=-2$，$x_2=5$。
$x_{1}=-2,x_{2}=5$
18. (2024·自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙 $ AB ⊥ CD $ 于点 $ O $(如图)，其中 $ AB $ 上的 $ EO $ 段围墙空缺. 同学们测得 $ AE = 6.6m $，$ OE = 1.4m $，$ OB = 6m $，$ OC = 5m $，$ OD = 3m $，班长买来可切断的围栏 $ 16m $，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是
46.4
$ m^2 $.答案
18. 46.4
三、解答题
19. 已知某二次函数的图像以 $ A(-1,4) $ 为顶点，且过点 $ B(2,-5) $.
(1) 求该函数的解析式；
(2) 若该函数的图像与 $ x $ 轴相交于点 $ E $，$ F $，与 $ y $ 轴相交于点 $ C $，求 $ △ EFC $ 的面积.
19. 已知某二次函数的图像以 $ A(-1,4) $ 为顶点，且过点 $ B(2,-5) $.
(1) 求该函数的解析式；
(2) 若该函数的图像与 $ x $ 轴相交于点 $ E $，$ F $，与 $ y $ 轴相交于点 $ C $，求 $ △ EFC $ 的面积.
答案
19. (1) 设抛物线解析式为 $y=a(x+1)^{2}+4$，把 $(2,-5)$ 代入得 $a·9+4=-5$，解得 $a=-1$，所以抛物线解析式为 $y=-(x+1)^{2}+4$ 或 $y=-x^{2}-2x+3$；(2) $\because$ 函数的图像与 $x$ 轴相交于点 $E,F$，则令 $y=0$，即 $-x^{2}-2x+3=0$，解得 $x_{1}=1,x_{2}=-3$，$\therefore EF=4$，$\because$ 二次函数与 $y$ 轴相交于点 $C$，令 $x=0$，则 $y=3$，$\therefore C(0,3)$，$\therefore S_{△ EFC}=\frac{1}{2}EF· OC=\frac{1}{2}×4×3=6$。
解析
(1) 设抛物线解析式为 $ y=a(x+1)^{2}+4 $，把 $ B(2,-5) $ 代入得 $ a · (2+1)^{2}+4=-5 $，即 $ 9a + 4 = -5 $，解得 $ a = -1 $，所以抛物线解析式为 $ y=-(x+1)^{2}+4 $，展开得 $ y=-x^{2}-2x+3 $。
(2) 令 $ y=0 $，则 $ -x^{2}-2x+3=0 $，即 $ x^{2}+2x - 3=0 $，因式分解得 $ (x + 3)(x - 1)=0 $，解得 $ x_{1}=-3 $，$ x_{2}=1 $，所以 $ E(-3,0) $，$ F(1,0) $，则 $ EF = |1 - (-3)| = 4 $。令 $ x=0 $，得 $ y=3 $，所以 $ C(0,3) $。因此 $ S_{△ EFC}=\frac{1}{2} × EF × OC = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6 $。
(2) 令 $ y=0 $，则 $ -x^{2}-2x+3=0 $，即 $ x^{2}+2x - 3=0 $，因式分解得 $ (x + 3)(x - 1)=0 $，解得 $ x_{1}=-3 $，$ x_{2}=1 $，所以 $ E(-3,0) $，$ F(1,0) $，则 $ EF = |1 - (-3)| = 4 $。令 $ x=0 $，得 $ y=3 $，所以 $ C(0,3) $。因此 $ S_{△ EFC}=\frac{1}{2} × EF × OC = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6 $。
