登录
20. (2024·河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 $ h(m) $ 满足关系式 $ h = -5t^2 + v_0t $，其中 $ t(s) $ 是物体运动的时间，$ v_0(m/s) $ 是物体被发射时的速度. 社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
(1) 小球被发射后
(2) 若小球离地面的最大高度为 $ 20m $，求小球被发射时的速度.
(3) 按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同. 小明说：“这两次间隔的时间为 $ 3s $.”已知实验楼高 $ 15m $，请判断他的说法是否正确，并说明理由.
(1) 小球被发射后
$\frac{v_{0}}{10}$
$ s $ 时离地面的高度最大(用含 $ v_0 $ 的式子表示).(2) 若小球离地面的最大高度为 $ 20m $，求小球被发射时的速度.
(3) 按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同. 小明说：“这两次间隔的时间为 $ 3s $.”已知实验楼高 $ 15m $，请判断他的说法是否正确，并说明理由.
答案
20. (1) $\frac{v_{0}}{10}$ (2) 当 $t=\frac{v_{0}}{10}$ 时，$h=-5×(\frac{v_{0}}{10})^{2}+v_{0}×\frac{v_{0}}{10}=20$，解得 $v_{0}=20$。答：小球被发射时的速度是 $20m/s$；(3) 小明的说法不正确。理由如下：由 (2) 得 $h=-5t^{2}+20t$，当 $h=15$ 时，$15=-5t^{2}+20t$，解方程，得 $t_{1}=1,t_{2}=3$，$\because3-1=2(s)$，$\therefore$ 小明的说法不正确。
21. (2024·安徽)已知抛物线 $ y = -x^2 + bx $（$ b $ 为常数）的顶点横坐标比抛物线 $ y = -x^2 + 2x $ 的顶点横坐标大 $ 1 $.
(1) 求 $ b $ 的值；
(2) 点 $ A(x_1,y_1) $ 在抛物线 $ y = -x^2 + 2x $ 上，点 $ B(x_1 + t,y_1 + h) $ 在抛物线 $ y = -x^2 + bx $ 上.
① 若 $ h = 3t $，且 $ x_1 ≥ 0,t ＞ 0 $，求 $ h $ 的值；
② 若 $ x_1 = t - 1 $，求 $ h $ 的最大值.
(1) 求 $ b $ 的值；
(2) 点 $ A(x_1,y_1) $ 在抛物线 $ y = -x^2 + 2x $ 上，点 $ B(x_1 + t,y_1 + h) $ 在抛物线 $ y = -x^2 + bx $ 上.
① 若 $ h = 3t $，且 $ x_1 ≥ 0,t ＞ 0 $，求 $ h $ 的值；
② 若 $ x_1 = t - 1 $，求 $ h $ 的最大值.
答案
21. (1) $\because$ 抛物线 $y=-x^{2}+bx$ 的顶点横坐标为 $\frac{b}{2}$，$y=-x^{2}+2x$ 的顶点横坐标为 1，$\therefore\frac{b}{2}-1=1$，$\therefore b=4$；(2) $\because$ 点 $A(x_{1},y_{1})$ 在抛物线 $y=-x^{2}+2x$ 上，$\therefore y_{1}=-x_{1}^{2}+2x_{1}$，$\because B(x_{1}+t,y_{1}+h)$ 在抛物线 $y=-x^{2}+4x$ 上，$\therefore y_{1}+h=-(x_{1}+t)^{2}+4(x_{1}+t)$，即 $-x_{1}^{2}+2x_{1}+h=-(x_{1}+t)^{2}+4(x_{1}+t)$，$\therefore h=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t$，① $\because h=3t$，$\therefore3t=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t$，$\therefore t(t+2x_{1})=t+2x_{1}$，$\because x_{1}≥0,t＞0$，$\therefore t+2x_{1}＞0$，$\therefore t=1$，$\therefore h=3$；② 将 $x_{1}=t-1$ 代入 $h=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t$，$\therefore h=-3t^{2}+8t-2=-3(t-\frac{4}{3})^{2}+\frac{10}{3}$，$\because-3＜0$，$\therefore$ 当 $t=\frac{4}{3}$，即 $x_{1}=\frac{1}{3}$ 时，$h$ 取最大值 $\frac{10}{3}$。
解析
(1) $\because$ 抛物线 $y=-x^{2}+bx$ 的顶点横坐标为 $\frac{b}{2}$，抛物线 $y=-x^{2}+2x$ 的顶点横坐标为 $1$，
$\therefore \frac{b}{2} - 1 = 1$，
解得 $b=4$。
(2) $\because$ 点 $A(x_1,y_1)$ 在抛物线 $y=-x^2 + 2x$ 上，
$\therefore y_1 = -x_1^2 + 2x_1$。
$\because$ 点 $B(x_1 + t,y_1 + h)$ 在抛物线 $y=-x^2 + 4x$ 上，
$\therefore y_1 + h = -(x_1 + t)^2 + 4(x_1 + t)$，
即 $-x_1^2 + 2x_1 + h = -(x_1^2 + 2x_1t + t^2) + 4x_1 + 4t$，
整理得 $h = -t^2 - 2x_1t + 2x_1 + 4t$。
① $\because h = 3t$，
$\therefore 3t = -t^2 - 2x_1t + 2x_1 + 4t$，
整理得 $t^2 + (2x_1 - 1)t - 2x_1 = 0$，
即 $(t + 2x_1)(t - 1) = 0$。
$\because x_1 ≥ 0$，$t ＞ 0$，
$\therefore t + 2x_1 ＞ 0$，
$\therefore t - 1 = 0$，即 $t = 1$，
$\therefore h = 3t = 3$。
② $\because x_1 = t - 1$，
$\therefore h = -t^2 - 2(t - 1)t + 2(t - 1) + 4t$
$= -t^2 - 2t^2 + 2t + 2t - 2 + 4t$
$= -3t^2 + 8t - 2$
$= -3(t - \frac{4}{3})^2 + \frac{10}{3}$。
$\because -3 ＜ 0$，
$\therefore$ 当 $t = \frac{4}{3}$ 时，$h$ 取最大值 $\frac{10}{3}$。
$\therefore \frac{b}{2} - 1 = 1$，
解得 $b=4$。
(2) $\because$ 点 $A(x_1,y_1)$ 在抛物线 $y=-x^2 + 2x$ 上，
$\therefore y_1 = -x_1^2 + 2x_1$。
$\because$ 点 $B(x_1 + t,y_1 + h)$ 在抛物线 $y=-x^2 + 4x$ 上，
$\therefore y_1 + h = -(x_1 + t)^2 + 4(x_1 + t)$，
即 $-x_1^2 + 2x_1 + h = -(x_1^2 + 2x_1t + t^2) + 4x_1 + 4t$，
整理得 $h = -t^2 - 2x_1t + 2x_1 + 4t$。
① $\because h = 3t$，
$\therefore 3t = -t^2 - 2x_1t + 2x_1 + 4t$，
整理得 $t^2 + (2x_1 - 1)t - 2x_1 = 0$，
即 $(t + 2x_1)(t - 1) = 0$。
$\because x_1 ≥ 0$，$t ＞ 0$，
$\therefore t + 2x_1 ＞ 0$，
$\therefore t - 1 = 0$，即 $t = 1$，
$\therefore h = 3t = 3$。
② $\because x_1 = t - 1$，
$\therefore h = -t^2 - 2(t - 1)t + 2(t - 1) + 4t$
$= -t^2 - 2t^2 + 2t + 2t - 2 + 4t$
$= -3t^2 + 8t - 2$
$= -3(t - \frac{4}{3})^2 + \frac{10}{3}$。
$\because -3 ＜ 0$，
$\therefore$ 当 $t = \frac{4}{3}$ 时，$h$ 取最大值 $\frac{10}{3}$。
