22. (2024·乐山)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”. 抛物线 $ y = ax^2 - 2ax + 2a $（$ a $ 为常数且 $ a ＞ 0 $）与 $ y $ 轴交于点 $ A $.
(1) 若 $ a = 1 $，求抛物线的顶点坐标；
(2) 若线段 $ OA $（含端点）上的“完美点”个数大于 $ 3 $ 个且小于 $ 6 $ 个，求 $ a $ 的取值范围；
(3) 若抛物线与直线 $ y = x $ 交于 $ M $，$ N $ 两点，线段 $ MN $ 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有 $ 4 $ 个“完美点”，求 $ a $ 的取值范围.

22. (1) 当 $a=1$ 时，抛物线 $y=x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1$，$\therefore$ 抛物线的顶点坐标 $(1,1)$；(2) 当 $x=0$ 时，$y=2a$，即抛物线与 $y$ 轴的交点 $A$ 坐标为 $(0,2a)$，$\because$ 线段 $OA$ 上的“完美点”的个数大于 3 个且小于 6 个，即“完美点”的个数为 4 或 5 个，而 $a＞0$，$\therefore$ 当“完美点”个数为 4 个时，这 4 个“完美点”的坐标分别为 $(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)$，当“完美点”个数为 5 个时，这 5 个“完美点”的坐标分别为 $(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4)$，$\therefore3≤2a＜5$，$\therefore a$ 的取值范围是 $\frac{3}{2}≤ a＜\frac{5}{2}$；(3) 易知抛物线的顶点坐标为 $(1,a)$，过点 $P(2,2a),Q(3,5a),R(4,10a)$，显然，“完美点”$(1,1),(2,2),(3,3)$ 符合题意。下面讨论抛物线经过 $(2,1),(3,2)$ 的两种情况：① 当抛物线经过 $(2,1)$ 时，解得 $a=\frac{1}{2}$，此时，$P(2,1),Q(3,\frac{5}{2}),R(4,5)$，满足题意的“完美点”有 $(1,1),(2,1),(2,2),(3,3)$，共 4 个。② 当抛物线经过 $(3,2)$ 时，解得 $a=\frac{2}{5}$，此时，$P(2,\frac{4}{5}),Q(3,2),R(4,4)$，满足题意的“完美点”有 $(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(4,4)$，共 6 个，$\therefore a$ 的取值范围是 $\frac{2}{5}＜a≤\frac{1}{2}$。

23. (2024·临夏州)在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-1,0) $，$ B(3,0) $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，作直线 $ BC $.
(1) 求抛物线的解析式.
(2) 如图 1，点 $ P $ 是线段 $ BC $ 上方的抛物线上一动点，过点 $ P $ 作 $ PQ ⊥ BC $，垂足为点 $ Q $，请问线段 $ PQ $ 是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点 $ P $ 的坐标；若不存在请说明理由.
(3) 如图 2，点 $ M $ 是直线 $ BC $ 上一动点，过点 $ M $ 作线段 $ MN // OC $（点 $ N $ 在直线 $ BC $ 下方），已知 $ MN = 2 $，若线段 $ MN $ 与抛物线有交点，请直接写出点 $ M $ 的横坐标 $ x_M $ 的取值范围.

23. (1) $\because$ 抛物线 $y=-x^{2}+bx+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0),B(3,0)$ 两点，$\therefore\begin{cases}c-b=1\\c+3b=9\end{cases}$，解得 $\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$，$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-x^{2}+2x+3$；(2) 过点 $P$ 作 $PN⊥ AB$ 于点 $N$，交 $BC$ 于点 $M$，$\because B(3,0),C(0,3)$，$\therefore$ 直线 $BC$ 的解析式为 $y=-x+3$，$\because OB=OC,∠ BOC=90^{\circ}$，$\therefore∠ CBO=45^{\circ}$，$\because∠ MNB=90^{\circ}$，$\therefore∠ PMQ=∠ NMB=45^{\circ}$，$\because PQ⊥ BC$，$\therefore△ PQM$ 是等腰直角三角形，$\therefore PM=\sqrt{2}PQ$，$\therefore PM$ 的值最大时，$PQ$ 的值最大，设 $P(m,-m^{2}+2m+3)$，则 $M(m,-m+3)$，$\therefore PM=-m^{2}+2m+3-(-m+3)=-m^{2}+3m$，$\because-1＜0$，$\therefore$ 当 $m=\frac{3}{2}$ 时，$PM$ 的值最大，$PM$ 的最大值 $=-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}=\frac{9}{4}$，$\therefore PQ$ 的最大值 $=\frac{\sqrt{2}}{2}PM=\frac{9\sqrt{2}}{8}$，此时 $P(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$；(3) $\frac{3-\sqrt{17}}{2}≤ x_{M}≤0$ 或 $3≤ x_{M}≤\frac{3+\sqrt{17}}{2}$。