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1. 在比例尺为 $1:50000$ 的地图上量得甲、乙两地的距离为 $10\ \mathrm{cm}$，则甲、乙两地的实际距离是(
A.$500\ \mathrm{km}$
B.$50\ \mathrm{km}$
C.$5\ \mathrm{km}$
D.$0.5\ \mathrm{km}$
C
)A.$500\ \mathrm{km}$
B.$50\ \mathrm{km}$
C.$5\ \mathrm{km}$
D.$0.5\ \mathrm{km}$
答案
1. C
解析
设甲、乙两地的实际距离是$x\ \mathrm{cm}$。
根据比例尺公式：$\frac{图上距离}{实际距离} = 比例尺$，可得：
$\frac{10}{x} = \frac{1}{50000}$
解得$x = 10×50000 = 500000\ \mathrm{cm}$
因为$1\ \mathrm{km} = 100000\ \mathrm{cm}$，所以$500000\ \mathrm{cm} = 500000÷100000 = 5\ \mathrm{km}$
C
根据比例尺公式：$\frac{图上距离}{实际距离} = 比例尺$，可得：
$\frac{10}{x} = \frac{1}{50000}$
解得$x = 10×50000 = 500000\ \mathrm{cm}$
因为$1\ \mathrm{km} = 100000\ \mathrm{cm}$，所以$500000\ \mathrm{cm} = 500000÷100000 = 5\ \mathrm{km}$
C
2. 已知 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$，那么下列四个选项一定正确的是(
A.$2a = 3b$
B.$b - a = 1$
C.$\dfrac{a}{a - b}=-2$
D.$\dfrac{a + b}{b}=\dfrac{5}{2}$
C
)A.$2a = 3b$
B.$b - a = 1$
C.$\dfrac{a}{a - b}=-2$
D.$\dfrac{a + b}{b}=\dfrac{5}{2}$
答案
2. C
解析
已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$，设$a = 2k$，$b = 3k$（$k≠0$）。
选项A：$2a = 2×2k = 4k$，$3b = 3×3k = 9k$，$4k≠9k$，A错误。
选项B：$b - a = 3k - 2k = k$，$k$不一定为1，B错误。
选项C：$\dfrac{a}{a - b}=\dfrac{2k}{2k - 3k}=\dfrac{2k}{-k}=-2$，C正确。
选项D：$\dfrac{a + b}{b}=\dfrac{2k + 3k}{3k}=\dfrac{5k}{3k}=\dfrac{5}{3}≠\dfrac{5}{2}$，D错误。
C
选项A：$2a = 2×2k = 4k$，$3b = 3×3k = 9k$，$4k≠9k$，A错误。
选项B：$b - a = 3k - 2k = k$，$k$不一定为1，B错误。
选项C：$\dfrac{a}{a - b}=\dfrac{2k}{2k - 3k}=\dfrac{2k}{-k}=-2$，C正确。
选项D：$\dfrac{a + b}{b}=\dfrac{2k + 3k}{3k}=\dfrac{5k}{3k}=\dfrac{5}{3}≠\dfrac{5}{2}$，D错误。
C
3. 如图，画线段 $AB$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $O$，在这条垂直平分线上截取 $OC = OA$，以 $A$ 为圆心，$AC$ 为半径画弧交 $AB$ 于点 $P$，则线段 $AP$ 与 $AB$ 的比是(
A.$\sqrt{3}:2$
B.$1:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}:2$
D
)A.$\sqrt{3}:2$
B.$1:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}:2$
答案
3. D
解析
解：设 $OA = x$，则 $AB = 2OA = 2x$。
∵ $CO$ 是 $AB$ 的垂直平分线，
∴ $CO ⊥ AB$，$OC = OA = x$。
在 $Rt△ AOC$ 中，$AC = \sqrt{OA^2 + OC^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}x$。
∵ 以 $A$ 为圆心，$AC$ 为半径画弧交 $AB$ 于点 $P$，
∴ $AP = AC = \sqrt{2}x$。
∴ $AP:AB = \sqrt{2}x:2x = \sqrt{2}:2$。
答案：D
∵ $CO$ 是 $AB$ 的垂直平分线，
∴ $CO ⊥ AB$，$OC = OA = x$。
在 $Rt△ AOC$ 中，$AC = \sqrt{OA^2 + OC^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}x$。
∵ 以 $A$ 为圆心，$AC$ 为半径画弧交 $AB$ 于点 $P$，
∴ $AP = AC = \sqrt{2}x$。
∴ $AP:AB = \sqrt{2}x:2x = \sqrt{2}:2$。
答案：D
4. 已知线段 $a = 4$，$b = 9$，线段 $x$ 是 $a$，$b$ 的比例中项，则 $x$ 等于(
A.$36$
B.$6$
C.$-6$
D.$6$ 或 $-6$
B
)A.$36$
B.$6$
C.$-6$
D.$6$ 或 $-6$
答案
4. B
解析
因为线段$x$是$a$，$b$的比例中项，所以$a:x = x:b$，即$x^2 = ab$。已知$a = 4$，$b = 9$，则$x^2 = 4×9 = 36$，解得$x = \pm6$。又因为线段长度不能为负，所以$x = 6$。
B
B
5. 延长线段 $AB$ 到 $C$，使 $BC = 2AB$，则 $\dfrac{AB}{AC}=$，$\dfrac{AB}{BC}=$.
答案
5. $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{2}$
解析
设 $ AB = x $，则 $ BC = 2AB = 2x $。
因为 $ AC = AB + BC $，所以 $ AC = x + 2x = 3x $。
因此，$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{x}{3x} = \dfrac{1}{3}$，$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}$。
$\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{1}{2}$
因为 $ AC = AB + BC $，所以 $ AC = x + 2x = 3x $。
因此，$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{x}{3x} = \dfrac{1}{3}$，$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}$。
$\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{1}{2}$
6. 已知 $a$，$b$，$c$，$d$ 是成比例线段，即 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$，其中 $a = 3\ \mathrm{cm}$，$b = 2\ \mathrm{cm}$，$c = 6\ \mathrm{cm}$，则线段 $d = 8$.
答案
6. 4 cm
解析
因为$a$，$b$，$c$，$d$是成比例线段，所以$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$。已知$a = 3\ \mathrm{cm}$，$b = 2\ \mathrm{cm}$，$c = 6\ \mathrm{cm}$，代入可得$\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{d}$，解得$d = 4\ \mathrm{cm}$。
4 cm
4 cm
7. 若 $a$ 和 $b$ 的比例中项是 $9\ \mathrm{cm}$，$a = 3\ \mathrm{cm}$，则 $b =$.
答案
7. 27 cm
解析
$27\ \mathrm{cm}$
8. 若 $\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}=\dfrac{1}{2}(a≠ c)$，则 $\dfrac{b - d}{a - c}=$.
答案
8. $\frac{1}{2}$
解析
设$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{1}{2}$，则$b = \frac{1}{2}a$，$d = \frac{1}{2}c$。
$\frac{b - d}{a - c} = \frac{\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}c}{a - c} = \frac{\frac{1}{2}(a - c)}{a - c} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{b - d}{a - c} = \frac{\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}c}{a - c} = \frac{\frac{1}{2}(a - c)}{a - c} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
9. （2024·常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图，一幅书画在装裱前的大小是 $1.2\ \mathrm{m}×0.8\ \mathrm{m}$.装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 $a\ \mathrm{m}$，$b\ \mathrm{m}$，$c\ \mathrm{m}$，$d\ \mathrm{m}$.若装裱后 $AB$ 与 $AD$ 的比是 $16:10$，且 $a = b$，$c = d$，$c = 2a$，求四周边衬的宽度.
答案
9. 由题意得，$AB=(1.2+c+d)\mathrm{m}$，$AD=(0.8+a+b)\mathrm{m}$，$\because a=b$，$c=d$，$c=2a$，$\therefore AB=(1.2+c+d)\mathrm{m}=(1.2+4a)\mathrm{m}$，$AD=(0.8+a+b)\mathrm{m}=(0.8+2a)\mathrm{m}$，$\because AB$与$AD$的比是$16:10$，$\therefore (1.2+4a):(0.8+2a)=16:10$，$\therefore a=0.1$，$\therefore b=0.1$，$c=d=0.2$，答：上、下、左、右边衬的宽度分别是$0.1\mathrm{m}$，$0.1\mathrm{m}$，$0.2\mathrm{m}$，$0.2\mathrm{m}$。
解析
解：由题意得，$AB=(1.2 + c + d)\ \mathrm{m}$，$AD=(0.8 + a + b)\ \mathrm{m}$。
因为$a = b$，$c = d$，$c = 2a$，所以$AB=1.2 + c + d=1.2 + 2c=1.2 + 4a$，$AD=0.8 + a + b=0.8 + 2a$。
由于$AB$与$AD$的比是$16:10$，则$(1.2 + 4a):(0.8 + 2a)=16:10$。
即$10(1.2 + 4a)=16(0.8 + 2a)$，
$12 + 40a=12.8 + 32a$，
$40a - 32a=12.8 - 12$，
$8a=0.8$，
解得$a = 0.1$。
所以$b = a=0.1$，$c = d=2a=0.2$。
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是$0.1\ \mathrm{m}$，$0.1\ \mathrm{m}$，$0.2\ \mathrm{m}$，$0.2\ \mathrm{m}$。
因为$a = b$，$c = d$，$c = 2a$，所以$AB=1.2 + c + d=1.2 + 2c=1.2 + 4a$，$AD=0.8 + a + b=0.8 + 2a$。
由于$AB$与$AD$的比是$16:10$，则$(1.2 + 4a):(0.8 + 2a)=16:10$。
即$10(1.2 + 4a)=16(0.8 + 2a)$，
$12 + 40a=12.8 + 32a$，
$40a - 32a=12.8 - 12$，
$8a=0.8$，
解得$a = 0.1$。
所以$b = a=0.1$，$c = d=2a=0.2$。
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是$0.1\ \mathrm{m}$，$0.1\ \mathrm{m}$，$0.2\ \mathrm{m}$，$0.2\ \mathrm{m}$。
