10. 已知线段 $a$，$b$，$c$ 满足 $a:b:c = 3:2:6$，且 $a + 2b + c = 26$.
（1）求 $a$，$b$，$c$ 的值；
（2）若线段 $x$ 是线段 $a$，$b$ 的比例中项，求 $x$ 的值.

10. (1) $\because a:b:c=3:2:6$，$\therefore$设$a=3k$，$b=2k$，$c=6k$，又$\because a+2b+c=26$，$\therefore 3k+2× 2k+6k=26$，解得$k=2$，$\therefore a=6$，$b=4$，$c=12$；(2) $\because x$是$a$，$b$的比例中项，$\therefore x^{2}=ab$，$\therefore x^{2}=4× 6$，$\therefore x=2\sqrt{6}$或$x=-2\sqrt{6}$（舍），即$x$的值为$2\sqrt{6}$。

11. 已知 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5}$，则 $\dfrac{a + b}{b}$ 的值为()

A.$\dfrac{2}{5}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{7}{5}$
D.$\dfrac{2}{3}$

11. C

$\dfrac{a + b}{b}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}=\dfrac{2}{5}+1=\dfrac{7}{5}$，故选C。

12. 下列各组线段(单位：$\mathrm{cm}$)中，成比例线段的是()

A.$1$，$2$，$3$，$4$
B.$1$，$2$，$2$，$4$
C.$3$，$5$，$9$，$13$
D.$1$，$2$，$2$，$3$

12. B

13. 若 $x:y = 1:3$，$2y = 3z$，则 $\dfrac{2x + y}{z - y}$ 的值是()

A.$-5$
B.$-\dfrac{10}{3}$
C.$\dfrac{10}{3}$
D.$5$

13. A

设$x = k$，因为$x:y = 1:3$，所以$y = 3k$。
由$2y = 3z$，得$z=\dfrac{2y}{3}=\dfrac{2×3k}{3}=2k$。
则$\dfrac{2x + y}{z - y}=\dfrac{2k + 3k}{2k - 3k}=\dfrac{5k}{-k}=-5$。
A

14. 已知线段 $AB$，延长 $AB$ 至点 $C$，使得 $BC = 2AB$，点 $D$ 是线段 $AC$ 上一点，且 $BD=\dfrac{1}{3}AB$，则 $\dfrac{AC}{AD}$ 的值是.

14. $\frac{9}{2}$或$\frac{9}{4}$

设 $ AB = x $，则 $ BC = 2AB = 2x $，$ AC = AB + BC = x + 2x = 3x $。
情况1：点$ D $在线段$ AB $上
$ BD = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{3}x $，$ AD = AB - BD = x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x $，
$ \frac{AC}{AD} = \frac{3x}{\frac{2}{3}x} = \frac{9}{2} $。
情况2：点$ D $在线段$ BC $上
$ BD = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{3}x $，$ AD = AB + BD = x + \frac{1}{3}x = \frac{4}{3}x $，
$ \frac{AC}{AD} = \frac{3x}{\frac{4}{3}x} = \frac{9}{4} $。
综上，$\frac{AC}{AD}$的值是$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{4}$。

15. 已知三个数 $2$，$4$，$8$，再添上一个数，使它们成比例，则所有符合条件的数有.

15. 1，4，16

设添加的数为$x$。
情况一：$2:4 = 8:x$，则$2x = 4×8$，$2x = 32$，$x = 16$；
情况二：$2:4 = x:8$，则$4x = 2×8$，$4x = 16$，$x = 4$；
情况三：$2:x = 4:8$，则$4x = 2×8$，$4x = 16$，$x = 4$（与情况二重复）；
情况四：$x:2 = 4:8$，则$8x = 2×4$，$8x = 8$，$x = 1$；
情况五：$2:8 = x:4$，则$8x = 2×4$，$8x = 8$，$x = 1$（与情况四重复）；
情况六：$2:8 = 4:x$，则$2x = 8×4$，$2x = 32$，$x = 16$（与情况一重复）。
综上，所有符合条件的数为1，4，16。

16. 已知 $a = 2$，$b = \sqrt{5}-1$，$c = 3 - \sqrt{5}$，求证：$b$ 是 $a$ 与 $c$ 的比例中项.

16. 证明略

证明：
因为 $a = 2$，$c = 3 - \sqrt{5}$，
所以 $ac = 2 × (3 - \sqrt{5}) = 6 - 2\sqrt{5}$。
因为 $b = \sqrt{5} - 1$，
所以 $b^2 = (\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 × \sqrt{5} × 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$。
因此，$b^2 = ac$，
故 $b$ 是 $a$ 与 $c$ 的比例中项。

17. 我们知道：选用同一长度单位量得两条线段 $AB$，$CD$ 的长度分别是 $m$，$n$，那么就说两条线段的比 $AB:CD = m:n$，如果把 $\dfrac{m}{n}$ 表示成比值 $k$，那么 $\dfrac{AB}{CD}=k$，或 $AB = kCD$.请完成以下问题：
(1)四条线段 $a$，$b$，$c$，$d$ 中，如果，那么这四条线段 $a$，$b$，$c$，$d$ 叫作成比例线段.
(2)已知 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=2$，那么 $\dfrac{a + b}{b}=$，$\dfrac{c + d}{d}=$.
(3)如果 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$，那么 $\dfrac{a - b}{b}=\dfrac{c - d}{d}$ 成立吗？请用两种方法说明其中的理由.
(4)如果 $\dfrac{x + y}{z}=\dfrac{y + z}{x}=\dfrac{z + x}{y}=m$，求 $m$ 的值.

17. (1) $a:b=c:d$ (2) 3 3 (3) 如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$成立。理由如下：证明一：$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，$\therefore \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$，即$\frac{a}{b}-\frac{b}{b}=\frac{c}{d}-\frac{d}{d}$，$\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$；证明二：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，那么$a=kb$，$c=kd$，$\because \frac{a-b}{b}=\frac{kb-b}{b}=k-1$，$\frac{c-d}{d}=\frac{kd-d}{d}=k-1$，$\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$；(4) ①当$x+y+z=0$时，$y+z=-x$，$z+x=-y$，$x+y=-z$，$\therefore m$为其中任何一个比值，即$m=\frac{-x}{x}=-1$；②$x+y+z≠ 0$时，$m=\frac{y+z+z+x+x+y}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2$。所以$m=2$或$-1$。

(1) $a:b = c:d$
(2) 3；3
(3) 成立。证明一：$\because \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，$\therefore \frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$，即$\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$；证明二：设$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$，则$a = kb$，$c = kd$，$\frac{a - b}{b} = \frac{kb - b}{b} = k - 1$，$\frac{c - d}{d} = \frac{kd - d}{d} = k - 1$，$\therefore \frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$
(4) ①当$x + y + z = 0$时，$y + z = -x$，$m = \frac{-x}{x} = -1$；②当$x + y + z ≠ 0$时，$m = \frac{(x + y) + (y + z) + (z + x)}{x + y + z} = \frac{2(x + y + z)}{x + y + z} = 2$。$\therefore m = 2$或$-1$