1. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比 $ 0.618 $。已知这本书的长为 $ 20 \mathrm{~cm} $，则它的宽约为()

A.$ 12.36 \mathrm{~cm} $
B.$ 13.6 \mathrm{~cm} $
C.$ 32.36 \mathrm{~cm} $
D.$ 7.64 \mathrm{~cm} $

1. A

宽 = 长 × 黄金比 = $20 × 0.618 = 12.36\ \mathrm{cm}$，答案选A。

2. (2024·南充)如图，已知线段 $ AB $，按以下步骤作图：① 过点 $ B $ 作 $ BC ⊥ AB $，使 $ BC = \frac{1}{2}AB $，连接 $ AC $；② 以点 $ C $ 为圆心，以 $ BC $ 长为半径画弧，交 $ AC $ 于点 $ D $；③ 以点 $ A $ 为圆心，以 $ AD $ 长为半径画弧，交 $ AB $ 于点 $ E $。若 $ AE = mAB $，则 $ m $ 的值为()

A.$ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{5} - 2}{2} $
C.$ \sqrt{5} - 1 $
D.$ \sqrt{5} - 2 $

2. A

解：设 $ AB = 2a $，则 $ BC = \frac{1}{2}AB = a $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5}a $。
由作图知 $ CD = BC = a $，则 $ AD = AC - CD = \sqrt{5}a - a = (\sqrt{5} - 1)a $。
又 $ AE = AD = (\sqrt{5} - 1)a $，故 $ m = \frac{AE}{AB} = \frac{(\sqrt{5} - 1)a}{2a} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $。
A

3. 如图，扇子的圆心角为 $ x^{\circ} $，余下的圆心角为 $ y^{\circ} $，$ x $ 与 $ y $ 的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为 $ 0.6 $，则 $ x $ 应为()

A.$ 108 $
B.$ 120 $
C.$ 135 $
D.$ 216 $

3. C

解：由题意得，$x:y = 0.6 = \frac{3}{5}$，设$x = 3k$，$y = 5k$。
因为整个圆的圆心角为$360°$，所以$x + y = 360°$，即$3k + 5k = 360°$，$8k = 360°$，解得$k = 45°$。
则$x = 3k = 3×45° = 135°$。
答案：C

4. 矩形的两边长分别为 $ a $，$ b $，下列数据能构成黄金矩形的是()

A.$ a = 4 $，$ b = \sqrt{5} + 2 $
B.$ a = 4 $，$ b = \sqrt{5} - 2 $
C.$ a = 2 $，$ b = \sqrt{5} + 1 $
D.$ a = 2 $，$ b = \sqrt{5} - 1 $

4. D

黄金矩形的宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
情况一：若$a$为长，$b$为宽，则$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
选项A：$a = 4$，$b = \sqrt{5} + 2$，$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}+2}{4}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
选项C：$a = 2$，$b = \sqrt{5} + 1$，$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
情况二：若$b$为长，$a$为宽，则$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
选项B：$a = 4$，$b = \sqrt{5} - 2$，$\frac{a}{b}=\frac{4}{\sqrt{5}-2}=4(\sqrt{5}+2)≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
选项D：$a = 2$，$b = \sqrt{5} - 1$，$\frac{a}{b}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，则$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形定义。
D

5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，$ P $ 为 $ AB $ 的黄金分割点($ AP ＞ PB $)，如果 $ AB $ 的长度为 $ 10 \mathrm{~cm} $，那么 $ PB $ 的长度约为 $ \mathrm{cm} $。(结果精确到 $ 0.01 \mathrm{~cm} $)
]

5. 3.82

解：因为 $ P $ 为 $ AB $ 的黄金分割点（$ AP ＞ PB $），所以 $ AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB $。
已知 $ AB = 10 \, \mathrm{cm} $，则 $ AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × 10 = 5(\sqrt{5}-1) \, \mathrm{cm} $。
所以 $ PB = AB - AP = 10 - 5(\sqrt{5}-1) = 15 - 5\sqrt{5} \approx 15 - 5 × 2.236 = 15 - 11.18 = 3.82 \, \mathrm{cm} $。
3.82

6. (2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律。借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观。已知一条分割线的端点 $ A $，$ B $ 分别在习字格的边 $ MN $，$ PQ $ 上，且 $ AB // NP $，“晋”字的笔画“$ \backslash $”的位置在 $ AB $ 的黄金分割点 $ C $ 处，且 $ \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $，若 $ NP = 2 \mathrm{~cm} $，则 $ BC $ 的长为 $ \mathrm{cm} $(结果保留根号)。
]

6. $(\sqrt{5}-1)$

因为四边形 $MNPQ$ 是正方形，$NP = 2\,\mathrm{cm}$，所以 $NP = MQ = PQ = MN = 2\,\mathrm{cm}$。
由于 $AB // NP$，且 $A$ 在 $MN$ 上，$B$ 在 $PQ$ 上，所以 $AB = NP = 2\,\mathrm{cm}$。
已知 $\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，则 $BC = AB × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 2 × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \sqrt{5} - 1\,\mathrm{cm}$。
$\sqrt{5}-1$

7. 以长为 $ 2 \mathrm{~cm} $ 的定线段 $ AB $ 为边作正方形 $ ABCD $，取 $ AB $ 的中点 $ P $。在 $ BA $ 的延长线上取点 $ F $，使 $ PF = PD $，以 $ AF $ 为边作正方形 $ AMEF $，点 $ M $ 落在 $ AD $ 上，如图所示。
（1）试求 $ AM $，$ DM $ 的长；
（2）点 $ M $ 是线段 $ AD $ 的黄金分割点吗？请说明理由。

7. (1) 在 $Rt△ APD$ 中，$AP = 1cm$，$AD = 2cm$，由勾股定理知 $PD = \sqrt{AD^{2}+AP^{2}}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}(cm)$，$\therefore AM = AF = PF - AP = PD - AP = (\sqrt{5}-1)(cm)$，$DM = AD - AM = (3-\sqrt{5})(cm)$． (2) $\because AM^{2}=(\sqrt{5}-1)^{2}=6 - 2\sqrt{5}$，$AD· DM = 2×(3-\sqrt{5})=6 - 2\sqrt{5}$，$\therefore AM^{2}=AD· DM$，$\therefore$ 点 $M$ 是线段 $AD$ 的黄金分割点．

（1）在$Rt△ APD$中，$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$，$AD=2\mathrm{cm}$，由勾股定理得$PD=\sqrt{AD^{2}+AP^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}\mathrm{cm}$。因为$PF=PD$，所以$AF=PF-AP=PD-AP=\sqrt{5}-1\mathrm{cm}$，又因为四边形$AMEF$是正方形，所以$AM=AF=\sqrt{5}-1\mathrm{cm}$，$DM=AD-AM=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
（2）是。理由如下：$AM^{2}=(\sqrt{5}-1)^{2}=6 - 2\sqrt{5}$，$AD· DM=2×(3-\sqrt{5})=6 - 2\sqrt{5}$，所以$AM^{2}=AD· DM$，故点$M$是线段$AD$的黄金分割点。