1. 对于分式方程$\frac{x}{x - 3}=2+\frac{3}{x - 3}$，有下列说法：① 最简公分母为$(x - 3)^2$；② 转化为整式方程$x = 2 + 3$，解得$x = 5$；③ 原方程的解为$x = 3$；④ 原方程无解。其中，正确的个数是()

A.4
B.3
C.2
D.1

1. D

①最简公分母为$x - 3$，故①错误；
②方程两边同乘$x - 3$得：$x = 2(x - 3) + 3$，即$x = 2x - 6 + 3$，解得$x = 3$，故②错误；
③当$x = 3$时，$x - 3 = 0$，原方程分母为$0$，$x = 3$是增根，故③错误；
④原方程无解，故④正确。
正确的个数是1。

2. 分式方程$\frac{x}{x - 1}-1=\frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$的解为()

A.$x = 1$
B.$x = -1$
C.无解
D.$x = -2$

2. C

方程两边同乘$(x - 1)(x + 2)$，得$x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3$。
展开得$x^2 + 2x - (x^2 + 2x - x - 2) = 3$，即$x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = 3$。
合并同类项得$x + 2 = 3$，解得$x = 1$。
检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 2) = 0$，所以$x = 1$是增根，原分式方程无解。
C

3. (2025·凉山)若关于$x$的分式方程$\frac{x + m}{x - 2}+\frac{1}{2 - x}=3$无解，则$m=$。

3. $-1$

解：方程两边同乘$x - 2$，得$x + m - 1 = 3(x - 2)$，
化简得$2x = m + 5$，解得$x = \frac{m + 5}{2}$。
因为分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
则$\frac{m + 5}{2} = 2$，解得$m = -1$。
$-1$

4. 若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 2}+\frac{2m}{2 - x}=2m$有增根，则$m$的值为。

4. 1

解：方程两边同乘$x - 2$得：$x - 2m = 2m(x - 2)$。
因为分式方程有增根，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$x - 2m = 2m(x - 2)$得：$2 - 2m = 2m(2 - 2)$，解得$m = 1$。
1

5. 解方程：
（1）$\frac{1}{x - 1}+1=\frac{3}{2x - 2}$；
（2）$\frac{4 - y}{y - 5}=\frac{1}{5 - y}-2$；
（3）$\frac{5}{x^2 + x}-\frac{1}{x^2 - x}=0$；
（4）$\frac{2 + x}{2 - x}+\frac{16}{x^2 - 4}=-1$。

5. (1) $x=\frac{3}{2}$ (2) 无解 (3) $x=\frac{3}{2}$ (4) 无解

（1）方程两边同乘$2(x - 1)$，得$2 + 2(x - 1) = 3$，解得$x = \frac{3}{2}$。检验：当$x = \frac{3}{2}$时，$2(x - 1) = 2×(\frac{3}{2}-1)=1≠0$，所以$x = \frac{3}{2}$是原方程的解。
（2）方程两边同乘$(y - 5)$，得$4 - y = -1 - 2(y - 5)$，解得$y = 5$。检验：当$y = 5$时，$y - 5 = 0$，所以$y = 5$是增根，原方程无解。
（3）方程两边同乘$x(x + 1)(x - 1)$，得$5(x - 1) - (x + 1) = 0$，解得$x = \frac{3}{2}$。检验：当$x = \frac{3}{2}$时，$x(x + 1)(x - 1)=\frac{3}{2}×(\frac{3}{2}+1)×(\frac{3}{2}-1)=\frac{3}{2}×\frac{5}{2}×\frac{1}{2}=\frac{15}{8}≠0$，所以$x = \frac{3}{2}$是原方程的解。
（4）方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$-(x + 2)^2 + 16 = -(x^2 - 4)$，解得$x = 2$。检验：当$x = 2$时，$(x + 2)(x - 2) = 0$，所以$x = 2$是增根，原方程无解。

6. (易错题)(2025·齐齐哈尔)如果关于$x$的分式方程$\frac{mx}{1 - x}+\frac{x}{x - 1}=2$无解，那么下列关于实数$m$的值的结论正确的是()

A.$m = 1$
B.$m = -1$
C.$m = 1$或$m = -1$
D.m≠1且m≠−1

6. C [易错分析]分式方程无解有两种情况(化简后的整式方程无解或整式方程的解是增根),容易只考虑一种而漏解.

7. 若关于$x$的分式方程$\frac{3x - a}{x^2 - 2x}+\frac{1}{x - 2}=\frac{2}{x}$有增根，则$a$的值为()

A.0或2
B.4
C.8
D.4或8

7. D

方程两边同乘$x(x - 2)$，得$3x - a + x = 2(x - 2)$。
分式方程的增根为$x = 0$或$x = 2$。
当$x = 0$时，代入整式方程：$0 - a + 0 = 2(-2)$，解得$a = 4$。
当$x = 2$时，代入整式方程：$6 - a + 2 = 0$，解得$a = 8$。
综上，$a$的值为4或8。
D

8. (2025·沭阳期末)已知关于$x$的方程$\frac{x - 3}{x - 2}=3+\frac{a}{x - 2}$有增根，则$a=$。

8. $-1$

方程两边同乘$x - 2$，得$x - 3 = 3(x - 2) + a$。
因为方程有增根，所以最简公分母$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$x - 3 = 3(x - 2) + a$，得$2 - 3 = 3(2 - 2) + a$，解得$a = -1$。
$-1$