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8. 若方程$\frac{x - 3}{x - 2}+1=\frac{3}{2 - x}$的解使关于$x$的不等式$(2 - a)x - 3 ＞ 0$成立，则实数$a$的取值范围是
$a＜-1$
.答案
8. $a＜-1$
解析
解：方程两边同乘$x - 2$，得$x - 3 + (x - 2) = -3$，解得$x = 1$。经检验，$x = 1$是原方程的解。
将$x = 1$代入不等式$(2 - a)x - 3 ＞ 0$，得$(2 - a)×1 - 3 ＞ 0$，即$2 - a - 3 ＞ 0$，解得$a ＜ -1$。
$a＜-1$
将$x = 1$代入不等式$(2 - a)x - 3 ＞ 0$，得$(2 - a)×1 - 3 ＞ 0$，即$2 - a - 3 ＞ 0$，解得$a ＜ -1$。
$a＜-1$
9. (2025·宿城二模)已知关于$x$的分式方程$\frac{2x - 3a}{x + 1}=1$的解为负数，则实数$a$的取值范围是
$a＜-\frac{1}{3}$且$a≠ -\frac{2}{3}$
.答案
9. $a＜-\frac{1}{3}$且$a≠ -\frac{2}{3}$
解析
解：方程两边同乘$x + 1$，得$2x - 3a = x + 1$，解得$x = 3a + 1$。
因为方程的解为负数，所以$3a + 1 ＜ 0$，解得$a ＜ -\frac{1}{3}$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 1 ≠ 0$，所以$3a + 1 + 1 ≠ 0$，解得$a ≠ -\frac{2}{3}$。
综上，$a$的取值范围是$a ＜ -\frac{1}{3}$且$a ≠ -\frac{2}{3}$。
因为方程的解为负数，所以$3a + 1 ＜ 0$，解得$a ＜ -\frac{1}{3}$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 1 ≠ 0$，所以$3a + 1 + 1 ≠ 0$，解得$a ≠ -\frac{2}{3}$。
综上，$a$的取值范围是$a ＜ -\frac{1}{3}$且$a ≠ -\frac{2}{3}$。
10. 解方程：
(1) $\frac{x}{x + 1}=\frac{x}{3x + 3}+1$；
(2) (2024·福建)$\frac{3}{x + 2}+1=\frac{x}{x - 2}$；
(3) $\frac{x - 1}{x + 1}-\frac{3}{x^{2}-1}=1$；
(4) $\frac{2x + 2}{x}-\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{x^{2}-2}{x^{2}-2x}$.
(1) $\frac{x}{x + 1}=\frac{x}{3x + 3}+1$；
(2) (2024·福建)$\frac{3}{x + 2}+1=\frac{x}{x - 2}$；
(3) $\frac{x - 1}{x + 1}-\frac{3}{x^{2}-1}=1$；
(4) $\frac{2x + 2}{x}-\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{x^{2}-2}{x^{2}-2x}$.
答案
10. (1) $x=-3$ (2) $x=10$ (3) $x=-\frac{1}{2}$ (4) $x=-\frac{1}{2}$
解析
解：方程两边同乘$x(x - 2)$，得$(2x + 2)(x - 2)-x(x + 2)=x^{2}-2$，
展开并化简：$2x^{2}-4x + 2x - 4 - x^{2}-2x=x^{2}-2$，
合并同类项：$x^{2}-4x - 4=x^{2}-2$，
移项：$-4x=2$，
解得$x=-\frac{1}{2}$，
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$x(x - 2)=-\frac{1}{2}×(-\frac{5}{2})=\frac{5}{4}≠0$，
所以原方程的解为$x=-\frac{1}{2}$。
展开并化简：$2x^{2}-4x + 2x - 4 - x^{2}-2x=x^{2}-2$，
合并同类项：$x^{2}-4x - 4=x^{2}-2$，
移项：$-4x=2$，
解得$x=-\frac{1}{2}$，
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$x(x - 2)=-\frac{1}{2}×(-\frac{5}{2})=\frac{5}{4}≠0$，
所以原方程的解为$x=-\frac{1}{2}$。
11. (易错题)若关于$x$的分式方程$\frac{1}{x - 2}+\frac{2}{x + 2}=\frac{x + 2m}{x^{2}-4}$的解大于$1$，试确定$m$的取值范围.
答案
11. 原方程可化为$\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{x+2m}{(x+2)(x-2)}$，方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得$(x+2)+2(x-2)=x+2m$，解得$x=m+1$。根据题意，得$x＞1$，且$x≠ 2$，$x≠ -2$，即$m+1＞1$，$m+1≠ 2$，$m+1≠ -2$，解得$m＞0$且$m≠ 1$ [易错分析]解分式方程时未考虑分母不为零，直接求解导致范围错误。
解析
解：原方程可化为$\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = \frac{x + 2m}{(x + 2)(x - 2)}$，
方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$(x + 2) + 2(x - 2) = x + 2m$，
解得$x = m + 1$。
根据题意，得$x ＞ 1$，且$x ≠ 2$，$x ≠ -2$，
即$m + 1 ＞ 1$，$m + 1 ≠ 2$，$m + 1 ≠ -2$，
解得$m ＞ 0$且$m ≠ 1$。
故$m$的取值范围是$m ＞ 0$且$m ≠ 1$。
方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$(x + 2) + 2(x - 2) = x + 2m$，
解得$x = m + 1$。
根据题意，得$x ＞ 1$，且$x ≠ 2$，$x ≠ -2$，
即$m + 1 ＞ 1$，$m + 1 ≠ 2$，$m + 1 ≠ -2$，
解得$m ＞ 0$且$m ≠ 1$。
故$m$的取值范围是$m ＞ 0$且$m ≠ 1$。
12. (新考法·阅读理解)先阅读材料，再解答下面的问题：
方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解是$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{2}$；方程$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解是$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{1}{3}$.
(1) 观察上述方程的解，试猜想关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解是
(2) 把关于$x$的方程$x+\frac{1}{x - 1}=a+\frac{1}{a - 1}$变形为方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的形式为
方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解是$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{2}$；方程$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解是$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{1}{3}$.
(1) 观察上述方程的解，试猜想关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解是
$x_{1}=c$，$x_{2}=\frac{1}{c}$
.(2) 把关于$x$的方程$x+\frac{1}{x - 1}=a+\frac{1}{a - 1}$变形为方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的形式为
$x-1+\frac{1}{x-1}=a-1+\frac{1}{a-1}$
，方程的解是$x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{a}{a-1}$
.解决这个问题的数学思想是换元
.答案
12. (1) $x_{1}=c$，$x_{2}=\frac{1}{c}$ (2) $x-1+\frac{1}{x-1}=a-1+\frac{1}{a-1}$ $x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{a}{a-1}$ 换元
