例2 一个圆球放置在V形架中图7-19,图7-20是它的平面示意图.$CA$和$CB$都是$\odot O$的切线,切点分别是$A$、$B$.已知$\odot O$的半径为$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,且$AB=6\ \mathrm{cm}$,求$∠ ACB$的大小.
解 连接$OC$交$AB$于点$D$.
$\because CA$、$CB$分别是$\odot O$的切线,
$\therefore CA=CB$,$OC$平分$∠ ACB$.
$\therefore OC\bot AB$.
$\because AB=6$,
$\therefore BD=3$.
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,
$\because OB=2\sqrt{3}$,
$\therefore \sin ∠ BOD=\dfrac{BD}{OB}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}$.
$\therefore ∠ BOD=60°$.
$\because B$是切点,
$\therefore OB\bot BC$.
$\therefore ∠ OCB=30°$.
$\therefore ∠ ACB=60°$.
解 连接$OC$交$AB$于点$D$.
$\because CA$、$CB$分别是$\odot O$的切线,
$\therefore CA=CB$,$OC$平分$∠ ACB$.
$\therefore OC\bot AB$.
$\because AB=6$,
$\therefore BD=3$.
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,
$\because OB=2\sqrt{3}$,
$\therefore \sin ∠ BOD=\dfrac{BD}{OB}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}$.
$\therefore ∠ BOD=60°$.
$\because B$是切点,
$\therefore OB\bot BC$.
$\therefore ∠ OCB=30°$.
$\therefore ∠ ACB=60°$.
答案
解：连接$OC$交$AB$于点$D$.
$\because CA$、$CB$分别是$\odot O$的切线,
$\therefore CA=CB$,$OC$平分$∠ ACB$.
$\therefore OC\bot AB$.
$\because AB=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB=3\ \mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,
$\because OB=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \sin ∠ BOD=\dfrac{BD}{OB}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\therefore ∠ BOD=60°$.
$\because B$是切点,
$\therefore OB\bot BC$.
$\therefore ∠ OCB=90°-∠ BOD=30°$.
$\therefore ∠ ACB=2∠ OCB=60°$.
$\because CA$、$CB$分别是$\odot O$的切线,
$\therefore CA=CB$,$OC$平分$∠ ACB$.
$\therefore OC\bot AB$.
$\because AB=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB=3\ \mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,
$\because OB=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \sin ∠ BOD=\dfrac{BD}{OB}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\therefore ∠ BOD=60°$.
$\because B$是切点,
$\therefore OB\bot BC$.
$\therefore ∠ OCB=90°-∠ BOD=30°$.
$\therefore ∠ ACB=2∠ OCB=60°$.
1. 在$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$∠ B=45°$,$AC=2\sqrt{3}$,则$AB=$.
答案
解：过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
CD=AC·sin30°=2√3×$\frac{1}{2}$=√3，
AD=AC·cos30°=2√3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3。
在Rt△BCD中，∠B=45°，∠CDB=90°，
∴BD=CD=√3。
∴AB=AD+BD=3+√3。
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
CD=AC·sin30°=2√3×$\frac{1}{2}$=√3，
AD=AC·cos30°=2√3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3。
在Rt△BCD中，∠B=45°，∠CDB=90°，
∴BD=CD=√3。
∴AB=AD+BD=3+√3。
2. 如图,$AD$是$△ ABC$的高.已知$BD=2CD=6$,$\tan C=2$,求边$AB$的长.
答案
解：
∵ BD=2CD=6，
∴ CD=3，BD=6。
∵ AD是△ABC的高，
∴ ∠ADC=∠ADB=90°。
在Rt△ADC中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=2$，
∴ $AD=2× CD=2×3=6$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
∵ BD=2CD=6，
∴ CD=3，BD=6。
∵ AD是△ABC的高，
∴ ∠ADC=∠ADB=90°。
在Rt△ADC中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=2$，
∴ $AD=2× CD=2×3=6$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
3. 在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$∠ A=80°$,求$BC$的长和$△ ABC$的面积.
答案
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=40°。
在Rt△ABD中，
BD=AB·sin40°=10×sin40°，
AD=AB·cos40°=10×cos40°，
∴BC=2BD=20×sin40°≈20×0.6428≈12.86，
S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×20×sin40°×10×cos40°=100×sin40°×cos40°=50×sin80°≈50×0.9848≈49.24。
答：BC的长约为12.86，△ABC的面积约为49.24。
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=40°。
在Rt△ABD中，
BD=AB·sin40°=10×sin40°，
AD=AB·cos40°=10×cos40°，
∴BC=2BD=20×sin40°≈20×0.6428≈12.86，
S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×20×sin40°×10×cos40°=100×sin40°×cos40°=50×sin80°≈50×0.9848≈49.24。
答：BC的长约为12.86，△ABC的面积约为49.24。
4. 在$△ ABC$中,$AB=AC=15$,$BC=24$,求:
(1) $∠ A$,$∠ B$,$∠ C$;
(2) $△ ABC$的面积.
(1) $∠ A$,$∠ B$,$∠ C$;
(2) $△ ABC$的面积.
答案
解：
(1) 过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
$\because AB=AC=15$，$BC=24$，
$\therefore BD=DC=\frac{1}{2}BC=12$，$∠ B=∠ C$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$，
$\therefore ∠ B=∠ C=\arccos\frac{4}{5}$（或约$36.87°$），
$∠ A=180°-2∠ B=180°-2\arccos\frac{4}{5}$（或约$106.26°$）；
(2) $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 24 × 9=108$。
(1) 过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
$\because AB=AC=15$，$BC=24$，
$\therefore BD=DC=\frac{1}{2}BC=12$，$∠ B=∠ C$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$，
$\therefore ∠ B=∠ C=\arccos\frac{4}{5}$（或约$36.87°$），
$∠ A=180°-2∠ B=180°-2\arccos\frac{4}{5}$（或约$106.26°$）；
(2) $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 24 × 9=108$。
