6. 在$△ ABC$中,$AB=AC$,$\sin B=\dfrac{3}{5}$,$△ ABC$的周长为36,试求$AB$的长度和$△ ABC$的面积.
答案
解：过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
$\because AB=AC$，
$\therefore BD=DC=\dfrac{1}{2}BC$。
设$AB=AC=x$，
$\because △ ABC$的周长为36，
$\therefore BC=36-2x$，则$BD=\dfrac{1}{2}(36-2x)=18-x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore AD=AB· \sin B=\dfrac{3}{5}x$。
由勾股定理得：$AB^2=AD^2+BD^2$，
即$x^2=(\dfrac{3}{5}x)^2+(18-x)^2$，
展开并整理得：$x^2-\dfrac{9}{25}x^2=x^2-36x+324$，
$\dfrac{16}{25}x^2=x^2-36x+324$，
$16x^2=25x^2-900x+8100$，
$9x^2-900x+8100=0$，
$x^2-100x+900=0$，
因式分解得：$(x-10)(x-90)=0$，
解得$x=10$或$x=90$（$x=90$不符合周长为36的条件，舍去）。
$\therefore AB=10$，
$BC=36-2×10=16$，$AD=\dfrac{3}{5}×10=6$，
$△ ABC$的面积$=\dfrac{1}{2}× BC× AD=\dfrac{1}{2}×16×6=48$。
答：$AB$的长度为10，$△ ABC$的面积为48。
$\because AB=AC$，
$\therefore BD=DC=\dfrac{1}{2}BC$。
设$AB=AC=x$，
$\because △ ABC$的周长为36，
$\therefore BC=36-2x$，则$BD=\dfrac{1}{2}(36-2x)=18-x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore AD=AB· \sin B=\dfrac{3}{5}x$。
由勾股定理得：$AB^2=AD^2+BD^2$，
即$x^2=(\dfrac{3}{5}x)^2+(18-x)^2$，
展开并整理得：$x^2-\dfrac{9}{25}x^2=x^2-36x+324$，
$\dfrac{16}{25}x^2=x^2-36x+324$，
$16x^2=25x^2-900x+8100$，
$9x^2-900x+8100=0$，
$x^2-100x+900=0$，
因式分解得：$(x-10)(x-90)=0$，
解得$x=10$或$x=90$（$x=90$不符合周长为36的条件，舍去）。
$\therefore AB=10$，
$BC=36-2×10=16$，$AD=\dfrac{3}{5}×10=6$，
$△ ABC$的面积$=\dfrac{1}{2}× BC× AD=\dfrac{1}{2}×16×6=48$。
答：$AB$的长度为10，$△ ABC$的面积为48。
7. 一副直角三角尺按如图方式放置,点$C$在$FD$的延长线上,$AB// CF$,$∠ F=∠ ACB=90°$,$∠ E=45°$,$∠ A=60°$,$AC=10$,试求$CD$的长.
答案
解：过点B作BH⊥CD于H。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴ ∠ABC=30°，
BC=AC·tan60°=10×√3=10√3。
∵ AB//CF，
∴ ∠BCH=∠ABC=30°。
在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠BCH=30°，BC=10√3，
∴ BH=BC·sin30°=10√3×$\frac{1}{2}$=5√3，
CH=BC·cos30°=10√3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=15。
∵ ∠F=90°，∠E=45°，
∴ ∠EDF=45°，
在Rt△BHD中，∠BHD=90°，∠BDH=45°，
∴ DH=BH=5√3。
∴ CD=CH - DH=15 - 5√3。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴ ∠ABC=30°，
BC=AC·tan60°=10×√3=10√3。
∵ AB//CF，
∴ ∠BCH=∠ABC=30°。
在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠BCH=30°，BC=10√3，
∴ BH=BC·sin30°=10√3×$\frac{1}{2}$=5√3，
CH=BC·cos30°=10√3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=15。
∵ ∠F=90°，∠E=45°，
∴ ∠EDF=45°，
在Rt△BHD中，∠BHD=90°，∠BDH=45°，
∴ DH=BH=5√3。
∴ CD=CH - DH=15 - 5√3。
(1) 在$△ ABC$中,已知$AB=5$,$BC=8$,$∠ B=60°$,你能求出$△ ABC$的面积吗?
答案
解：
过点A作$AD⊥ BC$于点D，
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ B=60°$，$AB=5$，
$\therefore AD=AB·\sin60°=5×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×8×\frac{5\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$。
过点A作$AD⊥ BC$于点D，
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ B=60°$，$AB=5$，
$\therefore AD=AB·\sin60°=5×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×8×\frac{5\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$。
(2) 在$△ ABC$中,已知$AB=c$,$BC=a$,$∠ B=α$,你能求出$△ ABC$的面积吗?
答案
解：
过点A作$AD⊥ BC$于点D。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ B=α$，$AB=c$，
$\therefore AD=AB·\sinα=c·\sinα$。
$\because BC=a$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}× a× c·\sinα=\frac{1}{2}ac\sinα$。
过点A作$AD⊥ BC$于点D。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ B=α$，$AB=c$，
$\therefore AD=AB·\sinα=c·\sinα$。
$\because BC=a$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}× a× c·\sinα=\frac{1}{2}ac\sinα$。
例1 如图7-18,在$△ ABC$中,$AC=9$,$AB=8.5$,$∠ A=38°$.求边$AC$上的高和$△ ABC$的面积.
解 过点$B$作$BD\bot AC$,垂足为$D$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,
$\because \sin A=\dfrac{BD}{AB}$,
$\therefore BD=AB\sin A=8.5× \sin 38°\approx 5.233$,
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BD\approx \dfrac{1}{2}× 9× 5.233\approx 23.55$.
所以边$AC$上的高约为5.233,$△ ABC$的面积约为23.55.
解 过点$B$作$BD\bot AC$,垂足为$D$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,
$\because \sin A=\dfrac{BD}{AB}$,
$\therefore BD=AB\sin A=8.5× \sin 38°\approx 5.233$,
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BD\approx \dfrac{1}{2}× 9× 5.233\approx 23.55$.
所以边$AC$上的高约为5.233,$△ ABC$的面积约为23.55.
答案
解：过点$B$作$BD\bot AC$，垂足为$D$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$\because \sin A=\dfrac{BD}{AB}$，
$\therefore BD=AB· \sin A=8.5× \sin 38°\approx 5.233$，
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BD\approx \dfrac{1}{2}× 9× 5.233\approx 23.55$.
答：边$AC$上的高约为5.233，$△ ABC$的面积约为23.55。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$\because \sin A=\dfrac{BD}{AB}$，
$\therefore BD=AB· \sin A=8.5× \sin 38°\approx 5.233$，
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BD\approx \dfrac{1}{2}× 9× 5.233\approx 23.55$.
答：边$AC$上的高约为5.233，$△ ABC$的面积约为23.55。
