5. 如图,在$△ ABC$中,$BC=\sqrt{6}+\sqrt{2}$,$∠ C=45°$,$AB=\sqrt{2}AC$,求$AC$的长.
答案
解：过点A作AD⊥BC于点D，设AC=x，则AB=√2 x。
在Rt△ADC中，∠C=45°，
AD=AC·sin45°=x·$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
DC=AC·cos45°=x·$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
BD=$\sqrt{AB^2 - AD^2}$=$\sqrt{(\sqrt{2}x)^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2}$=$\sqrt{2x^2 - \frac{1}{2}x^2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}x$。
因为BC=BD + DC，BC=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
所以$\frac{\sqrt{6}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}x = \sqrt{6}+\sqrt{2}$，
即$\frac{x}{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
解得x=2。
答：AC的长为2。
在Rt△ADC中，∠C=45°，
AD=AC·sin45°=x·$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
DC=AC·cos45°=x·$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
BD=$\sqrt{AB^2 - AD^2}$=$\sqrt{(\sqrt{2}x)^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2}$=$\sqrt{2x^2 - \frac{1}{2}x^2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}x$。
因为BC=BD + DC，BC=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
所以$\frac{\sqrt{6}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}x = \sqrt{6}+\sqrt{2}$，
即$\frac{x}{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
解得x=2。
答：AC的长为2。
6. (1) 在$□ ABCD$中,$∠ A=60°$,$AB=10$,$AD=12$,求$□ ABCD$的面积;
(2) 在$□ ABCD$中,$∠ A=α (0°＜α ＜90°)$,$AB=x$,$AD=y$,求$□ ABCD$的面积.
(2) 在$□ ABCD$中,$∠ A=α (0°＜α ＜90°)$,$AB=x$,$AD=y$,求$□ ABCD$的面积.
答案
解：(1)过点B作$BE⊥AD$于点E，
在$Rt△ABE$中，$∠AEB=90°$，$∠A=60°$，$AB=10$，
$\therefore BE=AB·sin60°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$，
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$AD=12$，
$\therefore S_{□ABCD}=AD·BE=12×5\sqrt{3}=60\sqrt{3}$；
(2)过点B作$BE⊥AD$于点E，
在$Rt△ABE$中，$∠AEB=90°$，$∠A=α$，$AB=x$，
$\therefore BE=AB·sinα=x·sinα$，
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$AD=y$，
$\therefore S_{□ABCD}=AD·BE=y·x·sinα=xy sinα$。
在$Rt△ABE$中，$∠AEB=90°$，$∠A=60°$，$AB=10$，
$\therefore BE=AB·sin60°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$，
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$AD=12$，
$\therefore S_{□ABCD}=AD·BE=12×5\sqrt{3}=60\sqrt{3}$；
(2)过点B作$BE⊥AD$于点E，
在$Rt△ABE$中，$∠AEB=90°$，$∠A=α$，$AB=x$，
$\therefore BE=AB·sinα=x·sinα$，
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$AD=y$，
$\therefore S_{□ABCD}=AD·BE=y·x·sinα=xy sinα$。
7. 如图,在$△ ABC$中,$AD$是边$BC$上的高,$AE$是边$BC$上的中线,$∠ C=45°$,$\sin B=\dfrac{1}{3}$,$AD=1$.求:
(1) $BC$的长;
(2) $\tan ∠ DAE$的值.
(1) $BC$的长;
(2) $\tan ∠ DAE$的值.
答案
解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB=90°$，$AD=1$，
$\because \sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{3}$，
$\therefore AB=3$，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$∠ C=45°$，$AD=1$，
$\because \tan C=\dfrac{AD}{DC}$，$\tan45°=1$，
$\therefore DC=AD=1$，
$\therefore BC=BD+DC=2\sqrt{2}+1$。
(2) $\because AE$是$BC$边上的中线，
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}(2\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}$，
$\therefore DE=BD-BE=2\sqrt{2}-(\sqrt{2}+\dfrac{1}{2})=\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=90°$，
$\tan∠ DAE=\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}}{1}=\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB=90°$，$AD=1$，
$\because \sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{3}$，
$\therefore AB=3$，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$∠ C=45°$，$AD=1$，
$\because \tan C=\dfrac{AD}{DC}$，$\tan45°=1$，
$\therefore DC=AD=1$，
$\therefore BC=BD+DC=2\sqrt{2}+1$。
(2) $\because AE$是$BC$边上的中线，
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}(2\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}$，
$\therefore DE=BD-BE=2\sqrt{2}-(\sqrt{2}+\dfrac{1}{2})=\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=90°$，
$\tan∠ DAE=\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}}{1}=\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$D$在$AC$上,$DE\bot AB$,垂足为$E$,$AC=12$,$BC=5$.
(1) 求$\cos ∠ ADE$的值;
(2) 当$DE=DC$时,求$AD$的长.
(1) 求$\cos ∠ ADE$的值;
(2) 当$DE=DC$时,求$AD$的长.
答案
解：
(1) 在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=12$，$BC=5$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$。
因为$DE\bot AB$，所以$∠AED=90°$，
则$∠A+∠ADE=90°$，
又$∠A+∠B=90°$，故$∠ADE=∠B$，
所以$\cos∠ADE=\cos∠B=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$。
(2) 设$AD=x$，则$DC=AC-AD=12-x$，
因为$DE=DC$，所以$DE=12-x$。
在$△ADE$中，$∠AED=90°$，$\sin∠A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，
又$\sin∠A=\frac{DE}{AD}$，所以$\frac{5}{13}=\frac{12-x}{x}$，
解得：$5x=13(12-x)$，
$5x=156-13x$，
$18x=156$，
$x=\frac{26}{3}$。
即$AD$的长为$\frac{26}{3}$。
(1) 在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=12$，$BC=5$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$。
因为$DE\bot AB$，所以$∠AED=90°$，
则$∠A+∠ADE=90°$，
又$∠A+∠B=90°$，故$∠ADE=∠B$，
所以$\cos∠ADE=\cos∠B=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$。
(2) 设$AD=x$，则$DC=AC-AD=12-x$，
因为$DE=DC$，所以$DE=12-x$。
在$△ADE$中，$∠AED=90°$，$\sin∠A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，
又$\sin∠A=\frac{DE}{AD}$，所以$\frac{5}{13}=\frac{12-x}{x}$，
解得：$5x=13(12-x)$，
$5x=156-13x$，
$18x=156$，
$x=\frac{26}{3}$。
即$AD$的长为$\frac{26}{3}$。
某地打算修建一座高为5 m的过街天桥,已知天桥的斜面坡度为$i=1:1.5$(图7-21).你能计算出斜坡的长度吗?
答案
解：
设斜坡的垂直高度为$h=5\mathrm{m}$，水平宽度为$x$，斜坡长度为$L$。
由斜面坡度$i=1:1.5$，得$\frac{h}{x}=\frac{1}{1.5}$，
即$\frac{5}{x}=\frac{1}{1.5}$，解得$x=7.5\mathrm{m}$。
根据勾股定理，$L=\sqrt{h^2+x^2}=\sqrt{5^2+7.5^2}=\sqrt{25+56.25}=\sqrt{81.25}=\frac{5\sqrt{13}}{2}\mathrm{m}$。
答：斜坡的长度为$\frac{5\sqrt{13}}{2}$米。
设斜坡的垂直高度为$h=5\mathrm{m}$，水平宽度为$x$，斜坡长度为$L$。
由斜面坡度$i=1:1.5$，得$\frac{h}{x}=\frac{1}{1.5}$，
即$\frac{5}{x}=\frac{1}{1.5}$，解得$x=7.5\mathrm{m}$。
根据勾股定理，$L=\sqrt{h^2+x^2}=\sqrt{5^2+7.5^2}=\sqrt{25+56.25}=\sqrt{81.25}=\frac{5\sqrt{13}}{2}\mathrm{m}$。
答：斜坡的长度为$\frac{5\sqrt{13}}{2}$米。
