疑难点拨
若关于 x 的方程$(k+1)x^{|k|+1}-x+5=0$是一元二次方程,则$k=$.
点拨 利用“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”，得$|k|+1=2$，同时二次项系数不为0，即$k+1≠0$.

1

【分析】要确定k的值，需依据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。因此该方程需满足两个条件：一是未知数x的最高次数为2，二是二次项系数不为0。先根据次数条件求出k的可能值，再根据系数条件排除不符合的情况，即可得到答案。
【解析】因为方程$(k+1)x^{|k|+1}-x+5=0$是一元二次方程，所以：
1. 未知数的最高次数为2，即$|k| + 1 = 2$，解得$|k|=1$，因此$k=1$或$k=-1$；
2. 二次项系数不为0，即$k+1≠0$，解得$k≠-1$；
综合上述两个条件，k只能取1。
【答案】1
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的定义，核心是牢记“未知数最高次数为2”和“二次项系数不为0”两个限制条件，需避免遗漏系数不为0的要求而出错。
【难度系数】0.6

1. 有下列方程:①$x^{2}-2x-1=0$;②$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$;③$\frac{1}{x^{2}}+3x-5=0$;④$-x^{2}=0$;
⑤$(x-1)^{2}+y^{2}=2$;⑥$(x-1)(x-3)=x^{2}$.其中一元二次方程共有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1. C

【分析】要判断一元二次方程，需依据定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程。需逐个分析每个方程是否满足这三个核心条件，排除分式方程、多元方程、化简后次数不足2的方程。
【解析】根据一元二次方程的定义，逐一分析各方程：
1. 方程①：$x^2 - 2x -1=0$，仅含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程，属于一元二次方程；
2. 方程②：$ax^2 + bx + c=0(a≠0)$，满足仅含一个未知数，最高次数为2，且$a≠0$保证二次项存在，属于一元二次方程；
3. 方程③：$\frac{1}{x^2} +3x -5=0$，分母含未知数$x$，是分式方程，不是整式方程，排除；
4. 方程④：$-x^2=0$，仅含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程，属于一元二次方程；
5. 方程⑤：$(x-1)^2 + y^2=2$，含两个未知数$x$和$y$，属于二元方程，排除；
6. 方程⑥：$(x-1)(x-3)=x^2$，展开左边得$x^2 -4x +3$，移项化简后为$-4x +3=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除。
综上，一元二次方程共3个，对应选项C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的定义，核心是准确把握“一个未知数、最高次数2、整式方程”三个条件，需注意区分分式方程、多元方程及化简后非二次的方程，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.7

2. [新情境·生态环境]为了改善居民的生活环境,某小区对一块矩形空地进行绿化,这块矩形空地的长比宽长6 m,面积为$720m^{2}$.设矩形空地的长为x m,根据题意,可列出方程为.

2. $x(x-6)=720$

【分析】首先，题目中设矩形空地的长为$x$ m，已知长比宽长6 m，因此宽的长度为$(x - 6)$ m；而矩形的面积等于长乘以宽，题目中给出面积为$720 m^2$，据此即可建立等量关系列出方程。
【解析】已知长为$x$ m，长比宽长6 m，所以宽为$(x - 6)$ m。根据矩形面积公式：面积=长×宽，代入已知面积$720 m^2$，可得方程：$x(x - 6)=720$。
【答案】$x(x-6)=720$
【知识点】一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】本题结合实际绿化情境考查一元二次方程的应用，核心是利用矩形面积公式建立等量关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$3x^{2}-1=2x$;
(2)$x(x-2)=4x^{2}-3x$;
(3)关于x的方程$mx^{2}-nx+mx+nx^{2}=q-p(m+n≠0)$.

3. (1)二次项系数为3,一次项系数为-2,常数项为-1.
(2)二次项系数为3,一次项系数为-1,常数项为0.
(3)二次项系数为$(m+n)$,一次项系数为$(m-n)$,常数项为
$(p-q).$

【分析】
要将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），需通过移项、合并同类项，把所有项整理到等号一侧并按$x$的降幂排列，再对应确定二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，注意各项的符号变化。
【解析】
(1) 对$3x^2 -1=2x$移项，将右侧的$2x$移到左侧，得：$3x^2 -2x -1=0$，因此二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项为-1。
(2) 先展开左侧：$x(x-2)=x^2 -2x$，原方程变为$x^2 -2x=4x^2 -3x$，移项合并同类项：$4x^2 -3x -x^2 +2x=0$，即$3x^2 -x=0$，因此二次项系数为3，一次项系数为-1，常数项为0。
(3) 合并左侧同类项：$mx^2 +nx^2=(m+n)x^2$，$-nx +mx=(m-n)x$，原方程变为$(m+n)x^2 + (m-n)x = q-p$，移项得：$(m+n)x^2 + (m-n)x + (p - q)=0$，因此二次项系数为$(m+n)$，一次项系数为$(m-n)$，常数项为$(p - q)$。
【答案】
(1) 二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项为-1；
(2) 二次项系数为3，一次项系数为-1，常数项为0；
(3) 二次项系数为$(m+n)$，一次项系数为$(m-n)$，常数项为$(p-q)$。
【知识点】
一元二次方程一般形式，移项与合并同类项
【点评】
本题考查一元二次方程一般形式的转化，核心是掌握移项、合并同类项的基本操作，需注意符号处理，含参数的方程需保证二次项系数不为0（题目已给出$m+n≠0$），属于基础题型，侧重对概念的理解与应用。
【难度系数】
0.5

4. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+mx-2=0$的一个根为-1,则m的值为.

4. $-1$

【分析】要确定m的值，需利用一元二次方程根的定义：方程的根代入方程后等式成立。因此将已知根x=-1代入方程，得到关于m的一元一次方程，解此方程即可求出m的值。
【解析】把x=-1代入方程$x^2 + mx - 2 = 0$，得：
$(-1)^2 + m×(-1) - 2 = 0$
计算得：$1 - m - 2 = 0$
整理得：$-m -1 = 0$
解得：$m = -1$
【答案】$-1$
【知识点】一元二次方程的根、代入求值
【点评】本题考查一元二次方程根的基本应用，属于基础题型，直接利用根的定义代入计算即可，难度较低。
【难度系数】0.9

5. 若$x=3$是关于x的方程$ax^{2}-bx=6$的解,则2026-6a+2b的值为.

5. 2022

【分析】首先根据方程解的定义，将x=3代入给定方程，得到关于a、b的关系式；再观察所求代数式，通过变形将其转化为含有上述关系式的形式，利用整体代入法计算结果。
【解析】因为x=3是方程$ax^2 - bx =6$的解，所以将$x=3$代入方程得：
$a·3^2 - b·3 =6$，即$9a -3b=6$，两边同时除以3，得$3a -b=2$。
对所求式子$2026 -6a +2b$变形：
$2026 -6a +2b =2026 -2×(3a -b)$，将$3a -b=2$代入，得：
$2026 -2×2=2022$。
【答案】2022
【知识点】方程的解、代数式求值、整体代入法
【点评】本题属于基础题型，核心是利用方程解的定义建立a、b的关系，通过整体代入简化计算，体现了数学的整体思想，难度较低。
【难度系数】0.7

6. 如图,一架5 m长的梯子斜靠在墙上,梯子的底端与墙的距离是3 m.如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等,设梯子顶端向下滑动的距离为x m,请根据题意,列出关于x的方程.

6. $(4-x)^{2}+(3+x)^{2}=5^{2}$

【分析】首先，根据初始状态下梯子、墙、地面构成的直角三角形，利用勾股定理求出梯子顶端的初始高度；再分析滑动后梯子顶端和底端的位置变化：顶端向下滑动$x\ \mathrm{m}$，则新高度为初始高度减去$x$；底端向右滑动$x\ \mathrm{m}$，则新的底端与墙的距离为初始距离加上$x$；最后根据滑动后梯子长度不变（仍为斜边5 m），利用勾股定理即可列出方程。
【解析】初始时，梯子、墙、地面构成直角三角形，由勾股定理得梯子顶端初始高度为：$\sqrt{5^2 - 3^2}=4\ (\mathrm{m})$。
当梯子顶端向下滑动$x\ \mathrm{m}$后，顶端高度变为$(4 - x)\ \mathrm{m}$；梯子底端向右滑动$x\ \mathrm{m}$后，底端与墙的距离变为$(3 + x)\ \mathrm{m}$。
此时梯子仍为斜边5 m，根据勾股定理，滑动后直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此列出方程：$(4 - x)^2 + (3 + x)^2 = 5^2$。
【答案】$(4-x)^{2}+(3+x)^{2}=5^{2}$
【知识点】勾股定理，一元二次方程的应用
【点评】本题结合梯子滑动的实际场景，考查勾股定理的应用，关键是理清滑动前后直角三角形的边长关系，利用勾股定理建立方程，属于基础应用题，需掌握勾股定理的实际运用。
【难度系数】0.6