7. 根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;
(3)一个直角三角形的斜边长是17 cm,两直角边之差为7 cm,求较短直角边的长x.

7. (1)解:依题意得,$4x^{2}=25,$
化为一元二次方程的一般形式得,$4x^{2}-25=0.$
(2)解:依题意得,$x(x-2)=100,$
化为一元二次方程的一般形式得,$x^{2}-2x-100=0.$
(3)解:根据题意得,$x^{2}+(x+7)^{2}=17^{2},$
化为一元二次方程的一般形式,得$x^{2}+7x-120=0.$

【分析】
本题需根据三个实际问题的等量关系列出方程，再将方程化为一元二次方程的一般形式。具体思路：（1）利用正方形面积公式，4个正方形面积和为25，建立方程；（2）利用矩形面积公式，长为x时宽为x-2，面积为100，建立方程；（3）利用勾股定理，直角边差为7，斜边17，建立方程；最后通过移项、展开、合并同类项等操作，将方程整理为ax²+bx+c=0（a≠0）的一般形式。
【解析】
（1）每个正方形的面积为x²，4个正方形面积和为25，依题意列方程：4x²=25，移项化为一元二次方程的一般形式：4x² -25=0；
（2）矩形的长为x，则宽为(x-2)，矩形面积=长×宽=100，依题意列方程：x(x-2)=100，展开得x²-2x=100，移项化为一般形式：x² -2x -100=0；
（3）设较短直角边为x，则较长直角边为(x+7)cm，根据勾股定理，两直角边平方和等于斜边平方，依题意列方程：x² + (x+7)²=17²，展开得x² +x²+14x+49=289，合并同类项得2x²+14x+49=289，移项得2x²+14x-240=0，两边同除以2化为一般形式：x² +7x -120=0；
【答案】
7. (1)解:依题意得,$4x^{2}=25,$化为一元二次方程的一般形式得,$4x^{2}-25=0.$(2)解:依题意得,$x(x-2)=100,$化为一元二次方程的一般形式得,$x^{2}-2x-100=0.$(3)解:根据题意得,$x^{2}+(x+7)^{2}=17^{2},$化为一元二次方程的一般形式,得$x^{2}+7x-120=0.$
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，结合正方形、矩形、直角三角形的几何性质，考查学生根据实际问题建立方程并整理为一元二次方程一般形式的能力，难度较低，需掌握常见几何公式和一元二次方程的一般形式要求。
【难度系数】
0.7

8. 若方程$x^{2}-2x+1=0$的一个实数根为m,则$2026-m^{2}+2m$的值是 ()
A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024

8. A

【分析】
要解决这个问题，需利用方程根的定义，将根代入方程得到关于m的等式，再通过整体变形代入所求代数式计算。具体思路：1. 把m代入方程得到m的关系式；2. 整理出所求式子需要的整体值；3. 用整体代入法计算结果。
【解析】
因为m是方程$x^2 - 2x + 1 = 0$的实数根，将$x=m$代入方程得：
$m^2 - 2m + 1 = 0$，
移项可得：$m^2 - 2m = -1$。
对代数式$2026 - m^2 + 2m$变形为：
$2026 - m^2 + 2m = 2026 - (m^2 - 2m)$，
将$m^2 - 2m = -1$代入上式：
原式$=2026 - (-1) = 2027$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的根、代数式求值
【点评】
本题利用方程根的定义，通过整体代入简化计算，避免求解方程的根，是一元二次方程相关的基础题型，考查学生对整体思想的运用。
【难度系数】
0.8

9. [易错题]已知关于x的一元二次方程$(a-7)x^{2}+x+|a|-7=0$的一个根是$x=0$,则实数a的值为 ()
A. -7 B. 0 C. 7 D. -7或7

9. A

【分析】要解决这个问题，需结合两个核心知识点：一是一元二次方程根的定义，即方程的根代入方程后等式成立；二是一元二次方程的定义，二次项系数不能为0。首先将已知根代入方程求出a的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合条件的a值，即可得到正确答案。
【解析】解：把$x=0$代入方程$(a-7)x^{2}+x+|a|-7=0$，可得：
$(a-7)×0 + 0 + |a| -7 = 0$，即$|a|=7$，解得$a=7$或$a=-7$。
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数$a-7≠0$，即$a≠7$。
因此，$a=-7$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的根
【点评】本题为易错题，易错点在于仅利用根的定义求出a的可能值，忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，需牢记一元二次方程的定义，避免漏判条件。
【难度系数】0.4

10. 小明为班级围建一个矩形菜园ABCD,其中一边AD靠墙EF,墙可利用的最大长度为10 m,篱笆长为24 m,菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形.设$BC=x$ m,当围成的菜园面积为$36m^{2}$时,则可列方程为.

10. $x· \frac{24-x}{3}=36$

【分析】要列出方程，需先明确矩形菜园的边长关系。观察图形可知，AD边靠墙无需篱笆，篱笆总长度24m由BC段和3段垂直于BC的边（AB、中间分隔边、CD）组成，设垂直于BC的边长为y，根据篱笆总长可建立x与y的关系，再结合矩形面积公式即可推导方程。
【解析】设垂直于BC的边长为$y$ m，根据篱笆总长为24m，可得：$x + 3y = 24$，解得$y=\frac{24 - x}{3}$。矩形面积公式为“面积=长×宽”，此处BC为长$x$，AB为宽$y$，已知面积为$36m^2$，代入得方程：$x·\frac{24 - x}{3}=36$。
【答案】$x· \frac{24-x}{3}=36$
【知识点】一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】本题考查一元二次方程在几何实际问题中的应用，关键是理清篱笆的组成部分，正确表示矩形的边长，再结合面积公式列方程，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6

11. 如图所示是某停车场的平面示意图,停车场外围的长为30米,宽为18米.停车场内车道的宽都相等,停车位总占地面积为288平方米.设车道的宽为x米,则可列方程为.

11. $(30-x)(18-x)=288$

【分析】要列出方程，需先确定停车位的长和宽。已知停车场外围长30米、宽18米，车道宽均为x米，因此停车位的长为外围长减去车道宽，宽为外围宽减去车道宽，再结合停车位总面积288平方米，利用长方形面积公式即可列出方程。
【解析】因为车道宽为x米，所以停车位的长为(30 - x)米，宽为(18 - x)米。根据长方形面积=长×宽，且停车位总面积为288平方米，可列方程：(30 - x)(18 - x)=288。
【答案】(30 - x)(18 - x)=288
【知识点】一元二次方程的应用、长方形面积计算
【点评】本题是一元二次方程应用中的基础面积问题，关键在于正确找出停车位的长和宽，属于常规题型，难度适中。
【难度系数】0.6

12. (2026安徽淮南)若$x_{0}$是方程$ax^{2}+2x+c=0(a≠0)$的一个根,设$M=1-ac,N=(ax_{0}+1)^{2}$,试比较M与N的大小.

12. $M=N$

【分析】要比较M与N的大小，可采用作差法计算N-M的值。由于x₀是方程ax²+2x+c=0的根，将x₀代入方程可得到a、x₀、c的关系，利用该关系对N-M的表达式化简，即可判断两者的大小。
【解析】因为x₀是方程ax²+2x+c=0(a≠0)的根，所以代入得：ax₀² + 2x₀ + c = 0，整理得ax₀² = -2x₀ - c。
计算N-M：
N=(ax₀+1)² = a²x₀² + 2ax₀ +1，
又M=1 - ac，
则N-M = (a²x₀² + 2ax₀ +1) - (1 - ac) = a²x₀² + 2ax₀ + ac。
将ax₀²=-2x₀ -c代入上式：
原式 = a·ax₀² + 2ax₀ + ac = a(-2x₀ -c) + 2ax₀ + ac = -2ax₀ -ac +2ax₀ +ac =0，
故N-M=0，即M=N。
【答案】M=N
【知识点】一元二次方程的根、代数式化简、作差法比较大小
【点评】本题考查利用一元二次方程根的性质比较代数式大小，核心方法是作差法，关键是将方程根代入方程进行代数式变形，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7

13. [新定义]定义:关于x的一元二次方程$cx^{2}+bx+a=0$(其中a、b、c是常数,且$ac≠0$)是关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$(其中a、b、c是常数,且$ac≠0$)的“友好”方程.例如:$-2x^{2}-x+1=0$是$x^{2}-x-2=0$的“友好”方程.
(1)【概念感知】$2x^{2}-3x-2=0$的“友好”方程是.
(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程$cx^{2}+bx+a=0$(其中a、b、c是常数,且$ac≠0$)的一个解为3,请判断$\frac{1}{3}$是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是,请证明;若不是,请说明理由.

13. (1) $-2x^{2}-3x+2=0$ (2)是,证明略

【分析】
首先明确“友好”方程的定义：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$ac≠0$），它的“友好”方程是将$a$与$c$互换后的方程$cx^2 + bx + a = 0$。第(1)问直接根据定义互换原方程的$a$和$c$即可；第(2)问先利用已知解得到等式，再将$\frac{1}{3}$代入友好方程验证是否满足方程。
【解析】
(1) 已知原方程为$2x^2 - 3x - 2 = 0$，其中$a=2$，$c=-2$，根据“友好”方程定义，互换$a$与$c$，可得其“友好”方程为$-2x^2 - 3x + 2 = 0$。
(2) 设方程$cx^2 + bx + a = 0$（$ac≠0$）的“友好”方程为$ax^2 + bx + c = 0$。
因为$x=3$是$cx^2 + bx + a = 0$的解，将$x=3$代入得：$9c + 3b + a = 0$。
将$x=\frac{1}{3}$代入友好方程$ax^2 + bx + c = 0$的左边：
$a·(\frac{1}{3})^2 + b·\frac{1}{3} + c = \frac{a}{9} + \frac{b}{3} + c = \frac{a + 3b + 9c}{9}$
由$9c + 3b + a = 0$，可知分子$a + 3b + 9c = 0$，因此左边等于$0$，即$x=\frac{1}{3}$是友好方程的一个解。
【答案】
(1) $-2x^2 - 3x + 2 = 0$；(2) 是
【知识点】
一元二次方程的解；新定义问题
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“友好”方程的定义，结合一元二次方程解的概念求解，难度不大，重点考查对新定义的应用能力。
【难度系数】
0.6