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16. 如图,直线$l⊥x$轴于点 H,且与反比例函数 $y=\frac{k_{1}}{x}(k_{1}＞0,x＞0)$及反比例函数 $y=\frac{k_{2}}{x}(k_{2}＜0,$ $x＞0)$的图象分别交于点 A,B.
(1) 若$k_{1}=8,k_{2}=-2$,连接 OA,OB.
①$△ ABO$的面积为
② 当$OA⊥OB$时,求点 B 的坐标.
(2) 若点$H(2,0)$,过点 A 作 x 轴的平行线,与一次函数 $y=kx+\frac{1}{2}k_{2}(k≠0)$的图象交于点 D,点 D 在直线 l 的左侧,若$k_{1}$和$k_{2}$变化时,$AB+AD$的值始终不变,求对应 k 的值.
(1) 若$k_{1}=8,k_{2}=-2$,连接 OA,OB.
①$△ ABO$的面积为
5
；② 当$OA⊥OB$时,求点 B 的坐标.
(2) 若点$H(2,0)$,过点 A 作 x 轴的平行线,与一次函数 $y=kx+\frac{1}{2}k_{2}(k≠0)$的图象交于点 D,点 D 在直线 l 的左侧,若$k_{1}$和$k_{2}$变化时,$AB+AD$的值始终不变,求对应 k 的值.
答案
16. (1) ①5 ②点B的坐标为$(2,-1)$. (2) $k=1$.
解析
【分析】
本题综合考查反比例函数与一次函数的结合应用，需利用反比例函数中k的几何意义计算三角形面积，结合垂直直线的斜率关系求解点坐标，再通过坐标转化线段长度分析定值问题。解题时先设出直线l上点的横坐标，得到A、B的坐标，再根据题目条件逐步推导。
【解析】
(1) ①设点$H(a,0)(a＞0)$，则$A(a,\frac{k_1}{a})$，$B(a,\frac{k_2}{a})$。
$△ ABO$的面积可拆分为$△ AOH$和$△ BOH$的面积之和：
$S_{△ AOH}=\frac{1}{2}· OH· AH=\frac{1}{2}· a· \frac{k_1}{a}=\frac{k_1}{2}$，
$S_{△ BOH}=\frac{1}{2}· OH· BH=\frac{1}{2}· a· |\frac{k_2}{a}|=\frac{|k_2|}{2}$。
代入$k_1=8,k_2=-2$，得$S_{△ ABO}=\frac{8}{2}+\frac{2}{2}=5$。
②设$H(x,0)(x＞0)$，则$A(x,\frac{8}{x})$，$B(x,\frac{-2}{x})$。
直线OA的斜率$k_{OA}=\frac{\frac{8}{x}}{x}=\frac{8}{x^2}$，直线OB的斜率$k_{OB}=\frac{\frac{-2}{x}}{x}=\frac{-2}{x^2}$。
因$OA⊥OB$，故斜率乘积为$-1$，即$\frac{8}{x^2}· \frac{-2}{x^2}=-1$，化简得$x^4=16$，结合$x＞0$得$x=2$。
则B点纵坐标为$\frac{-2}{2}=-1$，故$B(2,-1)$。
(2) 已知$H(2,0)$，则$A(2,\frac{k_1}{2})$，$B(2,\frac{k_2}{2})$，故$AB=\frac{k_1}{2}-\frac{k_2}{2}=\frac{k_1 -k_2}{2}$。
过A的x轴平行线为$y=\frac{k_1}{2}$，与一次函数交点D满足$\frac{k_1}{2}=kx+\frac{1}{2}k_2$，解得$x=\frac{k_1 -k_2}{2k}$。
D在直线$l:x=2$左侧，故$AD=2 - \frac{k_1 -k_2}{2k}$。
则$AB+AD=\frac{k_1 -k_2}{2} + 2 - \frac{k_1 -k_2}{2k}=2 + (k_1 -k_2)(\frac{1}{2}-\frac{1}{2k})$。
因$AB+AD$与$k_1,k_2$无关，故$\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}=0$，解得$k=1$。
【答案】
(1) ①$5$；②$(2,-1)$；(2)$1$
【知识点】
反比例函数性质、一次函数交点、垂直直线斜率关系
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的应用，涉及k的几何意义、垂直性质、定值分析，需熟练掌握坐标与线段的转化，是中考常见的中档题型。
【难度系数】
0.5
本题综合考查反比例函数与一次函数的结合应用，需利用反比例函数中k的几何意义计算三角形面积，结合垂直直线的斜率关系求解点坐标，再通过坐标转化线段长度分析定值问题。解题时先设出直线l上点的横坐标，得到A、B的坐标，再根据题目条件逐步推导。
【解析】
(1) ①设点$H(a,0)(a＞0)$，则$A(a,\frac{k_1}{a})$，$B(a,\frac{k_2}{a})$。
$△ ABO$的面积可拆分为$△ AOH$和$△ BOH$的面积之和：
$S_{△ AOH}=\frac{1}{2}· OH· AH=\frac{1}{2}· a· \frac{k_1}{a}=\frac{k_1}{2}$，
$S_{△ BOH}=\frac{1}{2}· OH· BH=\frac{1}{2}· a· |\frac{k_2}{a}|=\frac{|k_2|}{2}$。
代入$k_1=8,k_2=-2$，得$S_{△ ABO}=\frac{8}{2}+\frac{2}{2}=5$。
②设$H(x,0)(x＞0)$，则$A(x,\frac{8}{x})$，$B(x,\frac{-2}{x})$。
直线OA的斜率$k_{OA}=\frac{\frac{8}{x}}{x}=\frac{8}{x^2}$，直线OB的斜率$k_{OB}=\frac{\frac{-2}{x}}{x}=\frac{-2}{x^2}$。
因$OA⊥OB$，故斜率乘积为$-1$，即$\frac{8}{x^2}· \frac{-2}{x^2}=-1$，化简得$x^4=16$，结合$x＞0$得$x=2$。
则B点纵坐标为$\frac{-2}{2}=-1$，故$B(2,-1)$。
(2) 已知$H(2,0)$，则$A(2,\frac{k_1}{2})$，$B(2,\frac{k_2}{2})$，故$AB=\frac{k_1}{2}-\frac{k_2}{2}=\frac{k_1 -k_2}{2}$。
过A的x轴平行线为$y=\frac{k_1}{2}$，与一次函数交点D满足$\frac{k_1}{2}=kx+\frac{1}{2}k_2$，解得$x=\frac{k_1 -k_2}{2k}$。
D在直线$l:x=2$左侧，故$AD=2 - \frac{k_1 -k_2}{2k}$。
则$AB+AD=\frac{k_1 -k_2}{2} + 2 - \frac{k_1 -k_2}{2k}=2 + (k_1 -k_2)(\frac{1}{2}-\frac{1}{2k})$。
因$AB+AD$与$k_1,k_2$无关，故$\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}=0$，解得$k=1$。
【答案】
(1) ①$5$；②$(2,-1)$；(2)$1$
【知识点】
反比例函数性质、一次函数交点、垂直直线斜率关系
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的应用，涉及k的几何意义、垂直性质、定值分析，需熟练掌握坐标与线段的转化，是中考常见的中档题型。
【难度系数】
0.5
17. 某二手车管理站,用一种一氧化碳(CO)检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量,这种检测仪的电路图如图1所示,其工作原理为:当尾气中一氧化碳的浓度增加,气敏电阻的阻值变小,电流随之增大,即所显示的一氧化碳含量就越高.已知气敏电阻 R(Ω)的阻值随着尾气中一氧化碳的含量$β$(g/km)变化的关系图象如图2所示,$R_{0}(Ω)$为定值电阻,电源电压恒定不变.
(1) 请根据图2,判断气敏电阻 R(Ω)与尾气中一氧化碳的含量之间成函数,并求出它的函数表达式；
(2) 该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于1.0 g/km.若某辆小轿车的尾气检测阻值为 0.5 Ω,则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准?请说明理由.
(1) 请根据图2,判断气敏电阻 R(Ω)与尾气中一氧化碳的含量之间成函数,并求出它的函数表达式；
(2) 该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于1.0 g/km.若某辆小轿车的尾气检测阻值为 0.5 Ω,则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准?请说明理由.
答案
17. (1) 反比例 函数的表达式为$R=\frac{1}{β}$.
(2) 该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准.理由略.
(2) 该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准.理由略.
解析
【分析】
首先，对于第(1)问，观察气敏电阻R随一氧化碳含量β的变化规律：当β增大时R减小，且两者乘积为定值，据此判断函数类型为反比例函数，设表达式后代入图像已知点求系数即可得到函数式。对于第(2)问，将已知的R值代入第(1)问的函数表达式，计算出对应的β值，再与标准值1.0g/km比较，判断是否达标。
【解析】
(1) 由图2可知，气敏电阻R随一氧化碳含量β的增大而减小，且R与β的乘积为定值，故R与β成反比例函数关系。设函数表达式为$ R = \frac{k}{β} $，取图像中β=1g/km时R=1Ω的点代入，得$ 1 = \frac{k}{1} $，解得k=1，因此函数表达式为$ R = \frac{1}{β} $。
(2) 当小轿车尾气检测阻值R=0.5Ω时，将其代入函数表达式$ R = \frac{1}{β} $，得$ 0.5 = \frac{1}{β} $，解得$ β = 2 \, \mathrm{g/km} $。因为$ 2 \, \mathrm{g/km} ＞ 1.0 \, \mathrm{g/km} $，所以该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准。
【答案】
(1) 反比例，$ R = \frac{1}{β} $；(2) 该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准。
【知识点】
反比例函数的应用、电路的基本规律
【点评】
本题结合实际尾气检测场景，考查反比例函数的应用，需结合图像判断函数类型并计算，体现了跨学科知识的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先，对于第(1)问，观察气敏电阻R随一氧化碳含量β的变化规律：当β增大时R减小，且两者乘积为定值，据此判断函数类型为反比例函数，设表达式后代入图像已知点求系数即可得到函数式。对于第(2)问，将已知的R值代入第(1)问的函数表达式，计算出对应的β值，再与标准值1.0g/km比较，判断是否达标。
【解析】
(1) 由图2可知，气敏电阻R随一氧化碳含量β的增大而减小，且R与β的乘积为定值，故R与β成反比例函数关系。设函数表达式为$ R = \frac{k}{β} $，取图像中β=1g/km时R=1Ω的点代入，得$ 1 = \frac{k}{1} $，解得k=1，因此函数表达式为$ R = \frac{1}{β} $。
(2) 当小轿车尾气检测阻值R=0.5Ω时，将其代入函数表达式$ R = \frac{1}{β} $，得$ 0.5 = \frac{1}{β} $，解得$ β = 2 \, \mathrm{g/km} $。因为$ 2 \, \mathrm{g/km} ＞ 1.0 \, \mathrm{g/km} $，所以该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准。
【答案】
(1) 反比例，$ R = \frac{1}{β} $；(2) 该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准。
【知识点】
反比例函数的应用、电路的基本规律
【点评】
本题结合实际尾气检测场景，考查反比例函数的应用，需结合图像判断函数类型并计算，体现了跨学科知识的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
