1. (1) 如图,AB 是$\odot O$的直径,AC 与$\odot O$交于点 F,弦 AD 平分$∠ BAC$,点 E 在 AC 上,连接DE、DB,.求证:.
从①DE与$\odot O$相切,②$DE⊥ AC$中选择一个作为已知条件,余下的一个作为结论,将题目补充完整(填写序号),并完成证明过程.
(2) 在(1)的前提下,若$AB=6$,$∠ BAD=30°$,求阴影部分的面积.

1. (1) 略.
(2) 阴影部分的面积为$\frac{27}{8}\sqrt{3}-\frac{3π}{2}$.

【分析】
第(1)问需选择条件和结论，利用圆的切线性质、角平分线性质及平行线的判定与性质完成证明；第(2)问需结合已知条件求出相关线段长度和角度，通过三角形面积与扇形面积的差计算阴影部分面积，关键是确定阴影部分对应的图形及各部分面积公式。
【解析】
(1) 补充条件：①，结论：②，证明如下：
连接OD，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠OAD = ∠CAD，
∵ OA = OD，
∴ ∠OAD = ∠ODA，
∴ ∠ODA = ∠CAD，
∴ OD//AC，
∵ DE与⊙O相切，
∴ OD⊥DE，
∴ DE⊥AC，得证。
(2) 解：连接OD、OF，
∵ AB是⊙O的直径，AB=6，
∴ OA=OD=OF=3，
∵ ∠BAD=30°，AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC=60°，
∵ OF=OA，∠BAC=60°，
∴ △OAF是等边三角形，∠AOF=60°，
∴ 扇形AOF的面积为$\frac{60}{360}×π×3^2=\frac{3π}{2}$，
由OD//AC，DE⊥AC，OD⊥DE，结合坐标法或几何关系可得△ADE的面积为$\frac{27\sqrt{3}}{8}$，
∴ 阴影部分的面积 = △ADE的面积 - 扇形AOF的面积 = $\frac{27\sqrt{3}}{8}-\frac{3π}{2}$。
【答案】
(1) 补充条件为①，结论为②，证明略；(2) $\frac{27}{8}\sqrt{3}-\frac{3π}{2}$
【知识点】
圆的切线性质、扇形面积计算、角平分线性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与几何面积计算，需熟练运用切线的性质、角平分线的性质，通过辅助线建立图形间的关系，难度适中，注重逻辑推理与公式应用。
【难度系数】
0.5

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以AB为直径的$\odot O$交边AC于点D,连接BD,过点C作CE$// AB$.
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作图:过点B作$\odot O$的切线,交CE于点F;(不写作法,保留作图痕迹,标明字母)
(2) 在(1)的条件下,求证:$BD=BF$.

2. (1) 方法不唯一,如图所示.

(2) 证明略.

【分析】
要解决本题，第一问需利用圆的切线性质：过圆上一点的切线垂直于过该点的半径，AB是⊙O直径，故过B的切线垂直AB，结合CE//AB，即可作出切线BF；第二问要证BD=BF，需利用直径所对圆周角为直角得BD⊥AC，再结合平行线性质、等腰三角形性质，通过全等三角形证明对应边相等。
【解析】
(1) 作图：根据圆的切线性质，过⊙O上点B的切线垂直于半径AB，结合CE//AB，用尺规作AB的垂线，过点B作该垂线，交CE于点F，则直线BF即为所求的切线，作图痕迹如图所示。
(2) 证明：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°（直径所对的圆周角是直角），
即 BD ⊥ AC，故 ∠BDC = 90°。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB（等腰三角形两底角相等）。
∵ CE // AB，
∴ ∠ABC = ∠BCF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ACB = ∠BCF，即 BC 平分 ∠DCF。
∵ BF 是⊙O的切线，
∴ BF ⊥ AB（切线垂直于过切点的半径），
又
∵ CE // AB，
∴ BF ⊥ CE，故 ∠BFC = 90°。
在△BDC和△BFC中：
∠BDC = ∠BFC = 90°，
∠BCD = ∠BCF，
BC = BC，
∴ △BDC ≌ △BFC（AAS），
∴ BD = BF。
【答案】
(1) 作图如图；(2) BD=BF。
【知识点】
圆的切线性质，圆周角定理，全等三角形判定，平行线性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质、尺规作图及几何证明，需熟练运用切线、圆周角等定理，结合平行线和等腰三角形性质推导，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

3. (1) 如图1,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,AD平分$∠ BAC$交BC于点D,点O在边AB上,且$\odot O$经过A、D两点,分别交AB、AC于点E、F.求证:BC是$\odot O$的切线;
(2) 如图2,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,用直尺和圆规作$\odot P$,使它满足以下条件:圆心P在边AB上,经过点A,且与边BC相切.(保留作图痕迹,不用写出作法)

3. (1) 证明略.
(2) 方法不唯一,如图所示.

【分析】
(1) 要证明BC是⊙O的切线，需连接半径OD，通过角平分线性质和等腰三角形性质推导OD与AC平行，结合直角条件得到OD⊥BC，从而依据切线判定定理得证。
(2) 作满足条件的⊙P，需利用切线性质：圆心到切线的距离等于半径，结合圆心P在AB上且过点A，可知P到BC的距离等于PA，据此用尺规确定点P即可。
【解析】
(1) 证明：连接OD。
∵ OA = OD（⊙O的半径相等），
∴ ∠OAD = ∠ODA。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠OAD = ∠CAD，
∴ ∠ODA = ∠CAD，
∴ OD // AC（内错角相等，两直线平行）。
∵ ∠C = 90°，
∴ ∠ODB = ∠C = 90°，即OD ⊥ BC。
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ BC是⊙O的切线（经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）。
(2) 作图：在AB边上确定点P，使P到BC的距离等于PA，保留作图痕迹即可，如图所示。
【答案】
(1) 证明成立；
(2)
【知识点】
切线的判定、平行线的性质、尺规作图
【点评】
本题综合考查圆的切线判定和尺规作图，第一问需熟练运用切线判定定理推导垂直关系；第二问结合切线性质作图，难度适中，注重几何性质的应用。
【难度系数】
0.5