4. 如图,AB是$\odot O$的直径,AC与$\odot O$交于点F,弦AD平分$∠ BAC$,$DE⊥ AC$,垂足为E.
(1) 试判断直线DE与$\odot O$的位置关系,并说明理由;

(2) 若$\odot O$的半径为2,$∠ BAC=60°$,求线段EF的长.

4. (1) 直线 DE 与$\odot O$相切.理由略. (2) $EF=1$.

【分析】
第(1)问：判断直线与圆的位置关系，核心是证明直线与圆的半径垂直。通过连接半径OD，利用角平分线性质和等腰三角形的等边对等角，推导OD与AC平行，结合DE垂直AC，可证DE垂直OD，从而得出DE是⊙O的切线。
第(2)问：已知⊙O半径和∠BAC，先利用直径所对圆周角为直角，结合三角函数求出AF、AE的长度，再通过线段差计算EF的长。
【解析】
(1) 直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠CAD，
又
∵ OA = OD（⊙O的半径），
∴ ∠BAD = ∠ODA，
∴ ∠CAD = ∠ODA，
∴ OD//AC，
∵ DE⊥AC，
∴ DE⊥OD，
又
∵ OD是⊙O的半径，且D在⊙O上，
∴ 直线DE与⊙O相切。
(2) 连接AD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°（直径所对的圆周角为直角），
∵ AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴ ∠BAD = 30°，
在Rt△ADB中，AB=2×2=4，
∴ AD = AB·cos30° = 4×(√3/2)=2√3，
在Rt△ADE中，∠CAD=30°，DE⊥AC，
∴ AE = AD·cos30° = 2√3×(√3/2)=3，
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，AB=4，∠BAC=60°，
∴ AF = AB·cos60° = 4×1/2=2，
∴ EF = AE - AF = 3 - 2 = 1。
【答案】
(1) 直线DE与⊙O相切；(2) EF=1
【知识点】
圆的切线判定、圆周角定理、解直角三角形
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、圆周角性质及三角函数的应用，解题关键是通过角的关系推导平行以证明切线，利用直角三角形的三角函数计算线段长度，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

5. 如图,AB为$\odot O$的直径,过圆上一点D作$\odot O$的切线CD交BA的延长线于点C,连接AD,过点O作$OE// AD$交CD的延长线于点E,连接BE.
(1) 直线BE与$\odot O$相切吗?请说明理由.
(2) 若$CA=2$,$CD=4$,求DE的长.

5. (1) 直线 BE 与$\odot O$相切.理由略. (2) $DE=6$.

【分析】
(1) 要判断直线BE是否与$\odot O$相切，需证明$OB ⊥ BE$（OB为半径，垂直则为切线）。已知CD是$\odot O$的切线，故$OD ⊥ CD$；结合$OE // AD$，利用平行线性质和等腰三角形$OA=OD$的角相等，可证$△ ODE ≌ △ OBE$，进而得到$∠ OBE=90°$，即可得出结论。
(2) 求DE的长，先利用切割线定理求出CB的长度，再结合切线长定理得$DE=BE$，最后在直角三角形CBE中用勾股定理列方程求解。
【解析】
(1) 直线BE与$\odot O$相切，理由如下：
连接OD，
∵ CD是$\odot O$的切线，
∴ $OD ⊥ CD$，即$∠ ODE=90°$。
∵ $OE // AD$，
∴ $∠ ADO=∠ DOE$，$∠ DAO=∠ EOB$。
又
∵ $OA=OD$（$\odot O$的半径），
∴ $∠ ADO=∠ DAO$，
∴ $∠ DOE=∠ EOB$。
在$△ ODE$和$△ OBE$中：
$\begin{cases} OD=OB \\ ∠ DOE=∠ EOB \\ OE=OE \end{cases}$
∴ $△ ODE ≌ △ OBE$（SAS），
∴ $∠ OBE=∠ ODE=90°$，即$OB ⊥ BE$。
∵ OB是$\odot O$的半径，
∴ 直线BE与$\odot O$相切。
(2) 设$\odot O$的半径为$r$，则$AB=2r$，$CB=CA+AB=2+2r$。
根据切割线定理：$CD^2=CA · CB$，
代入$CA=2$，$CD=4$，得$4^2=2 · (2+2r)$，
即$16=4+4r$，解得$r=3$，故$CB=2+2×3=8$。
由切线长定理，CD、BE都是$\odot O$的切线，E在圆外，
∴ $DE=BE$。
设$DE=BE=x$，则$CE=CD+DE=4+x$。
在$Rt△ CBE$中，$∠ CBE=90°$，由勾股定理得：
$CB^2 + BE^2 = CE^2$，
代入$CB=8$，$BE=x$，$CE=4+x$，得：
$8^2 + x^2=(4+x)^2$，
展开化简得：$64+x^2=16+8x+x^2$，即$8x=48$，解得$x=6$，即$DE=6$。
【答案】
(1) 直线BE与$\odot O$相切；(2) $DE=6$
【知识点】
切线的判定、切割线定理、切线长定理
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、圆幂定理及勾股定理的应用，第一问通过全等三角形推导切线，需熟练运用平行线和等腰三角形的角关系；第二问结合多个圆的性质求解线段长度，是圆中常见的中档题型，对学生的几何综合能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

6. 如图,AB是$\odot O$的直径,AC是$\odot O$的切线,切点为A,BC交$\odot O$于点D,E是AC的中点,连接DE.
(1) 试判断直线DE与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2) 若$\odot O$的半径为2,$∠ B=50°$,$AC=4.8$,求图中阴影部分的面积.

6. (1) 直线 DE 与$\odot O$相切.理由略.
(2) 图中阴影部分的面积为$\frac{24}{5}-\frac{10}{9}π$.

【分析】
第(1)问要判断直线与圆的位置关系，核心是证明直线与半径垂直，通过连接OD、AD，利用直径所对圆周角为直角、切线垂直于过切点的半径，结合直角三角形斜边中线性质和等腰三角形的角相等关系，推导OD⊥DE，从而得出DE是切线；第(2)问阴影面积需转化为规则图形面积的差，先计算四边形AODE的面积，再计算扇形OAD的面积，两者相减得到结果。
【解析】
(1) 直线DE与$\odot O$相切，理由如下：
连接OD、AD。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
∵ AC是$\odot O$的切线，切点为A，
∴ $AC⊥ AB$，即$∠ OAE=90°$。
在$Rt△ ADC$中，E是AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$DE=AE=\frac{1}{2}AC$，故$∠ EDA=∠ EAD$。
又
∵ $OA=OD$，
∴ $∠ OAD=∠ ODA$。
因此$∠ EDO=∠ EDA+∠ ODA=∠ EAD+∠ OAD=∠ OAE=90°$，即$OD⊥ DE$。
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ 直线DE与$\odot O$相切。
(2) 计算阴影部分面积：
① 求四边形AODE的面积：
∵ E是AC中点，$AC=4.8$，
∴ $AE=\frac{1}{2}AC=2.4$。
由(1)知$DE=AE=2.4$，且$∠ OAE=∠ ODE=90°$，$OA=OD=2$，
∴ $S_{△ AOE}=\frac{1}{2}× OA× AE=\frac{1}{2}×2×2.4=2.4$，$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}× OD× DE=\frac{1}{2}×2×2.4=2.4$，
∴ $S_{四边形AODE}=S_{△ AOE}+S_{△ ODE}=2.4+2.4=4.8=\frac{24}{5}$。
② 求扇形OAD的面积：
∵ AB是直径，
∴ $∠ ADB=90°$，在$Rt△ ABD$中，$∠ B=50°$，
∴ $∠ BAD=90°-50°=40°$，
∴ 圆心角$∠ AOD=180°-2×∠ BAD=180°-80°=100°$，
∴ $S_{扇形OAD}=\frac{100°}{360°}×π× r^2=\frac{100}{360}×π×2^2=\frac{10}{9}π$。
③ 阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{四边形AODE}-S_{扇形OAD}=\frac{24}{5}-\frac{10}{9}π$。
【答案】
(1) 直线DE与$\odot O$相切；(2) 阴影部分的面积为$\frac{24}{5}-\frac{10}{9}π$。
【知识点】
切线的判定、直角三角形性质、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、直角三角形性质及扇形面积计算，解题关键是通过辅助线将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，需熟练掌握圆的相关性质，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5