10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=60°$,$CD$为$AB$边上的高,若$CD=4$,试判断$AB$的长是否存在最小值.若存在,请求出$AB$长的最小值;若不存在,请说明理由.

10. AB的长存在最小值,最小值为$\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$.

【分析】
要判断AB是否存在最小值，需结合圆的性质与三角形定理。由∠ACB=60°，可知AB是△ABC外接圆中对应60°圆周角的弦，根据正弦定理，弦长AB与外接圆半径R相关，AB=√3 R，故AB的最小值对应R的最小值。再结合CD是AB边上的高（CD=4），利用圆心到弦AB的距离与半径的关系，以及圆上点到弦的距离范围，可求出R的最小值，进而得到AB的最小值。
【解析】
设△ABC的外接圆半径为R，根据正弦定理：在△ABC中，$\frac{AB}{\sin∠ACB}=2R$，已知∠ACB=60°，则：
$AB=2R\sin60°=2R×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}R$，即AB的大小由外接圆半径R决定，要使AB最小，需R最小。
设圆心到弦AB的距离为d，根据圆的弦长公式：$(\frac{AB}{2})^2 + d^2 = R^2$，代入AB=√3 R，得：
$(\frac{\sqrt{3}R}{2})^2 + d^2 = R^2$ → $\frac{3R^2}{4} + d^2 = R^2$ → $d^2=\frac{R^2}{4}$ → $d=\frac{R}{2}$（距离为正）。
因为点C在圆上，CD是点C到AB的高（CD=4），圆上一点到弦AB的距离范围为：$R - d ≤ CD ≤ R + d$，代入d=R/2，得：
$\frac{R}{2} ≤4 ≤ \frac{3R}{2}$。
解不等式：
左边：$\frac{R}{2} ≤4$ → $R ≤8$；
右边：$4 ≤ \frac{3R}{2}$ → $R ≥ \frac{8}{3}$。
因此R的最小值为$\frac{8}{3}$，代入AB=√3 R，得AB的最小值为$\sqrt{3}×\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
AB的长存在最小值，最小值为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
圆的性质、正弦定理、弦长公式
【点评】
本题结合圆的性质与三角形正弦定理，通过分析外接圆半径的取值范围确定AB的最小值，关键在于利用圆上点到弦的距离范围推导半径的最小值，需掌握圆与三角形知识的综合应用，综合性较强。
【难度系数】
0.5

11. 如图,在$△ ABC$中,$BC=2$,$A$为动点,在点$A$运动的过程中,始终有$∠ BAC=45°$,求$△ ABC$面积的最大值.

11. $△ ABC$面积的最大值为$\sqrt{2}+1$.

【分析】要解决这个问题，首先根据“定弦定角”确定动点A的轨迹是一段圆弧，再结合圆周角定理求出该圆的半径，找到点A到BC的最大距离（即三角形的高的最大值），最后利用三角形面积公式计算面积的最大值。
【解析】1. 确定点A的轨迹：在△ABC中，BC=2为定长，∠BAC=45°为定角，根据圆周角定理，点A的轨迹是以BC为弦、圆周角为45°的一段圆弧，对应的圆心角为90°。
2. 求圆的半径：设该圆的圆心为O，连接OB、OC，则∠BOC=2∠BAC=90°，且OB=OC=R（圆的半径）。在Rt△BOC中，由勾股定理得：$BC^2=OB^2+OC^2$，即$2^2=R^2+R^2$，解得$R=\sqrt{2}$。
3. 求圆心到BC的距离：过O作OD⊥BC于D，D为BC中点，故$BD=\frac{BC}{2}=1$。在Rt△BOD中，由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=1$。
4. 求A到BC的最大距离：当点A在DO的延长线与圆的交点时，A到BC的距离最大，此时最大距离为$OD+R=1+\sqrt{2}$。
5. 计算面积最大值：△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×BC×高$，代入BC=2，最大高为$1+\sqrt{2}$，得$S_{max}=\frac{1}{2}×2×(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}+1$。
【答案】$\sqrt{2}+1$
【知识点】圆周角定理，三角形面积计算，圆的基本性质
【点评】本题通过“定弦定角”确定动点轨迹，利用圆的性质找到最大高，进而求解面积最值，是几何最值的典型题型，需掌握定弦定角的轨迹应用。
【难度系数】0.5

12. 如图,在菱形$ABCD$中,$∠ ABC=60°$,$AB=4$,$E$是$AB$边上的动点,过点$B$作直线$CE$的垂线,垂足为$G$.当点$E$从点$A$运动到点$B$时,点$G$的运动路径长是.

(第12题)
(第13题)

12. $\dfrac{4}{3}π$

【分析】
要解决这个问题，首先根据垂直关系确定动点G的轨迹，再结合菱形性质确定轨迹的圆心和半径，最后计算对应弧长。具体思路：由BG⊥CE得∠BGC=90°，根据圆周角定理，直角所对弦为直径，故G在以BC为直径的圆上；结合菱形∠ABC=60°、边长AB=4，确定BC长度，进而得到圆的半径；再分析E从A到B时，G在圆上的两个端点，计算对应圆心角，用弧长公式求路径长。
【解析】
1. 确定点G的轨迹：因为BG⊥CE，所以∠BGC=90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此点G的运动轨迹是以BC为直径的圆。
2. 计算圆的半径：菱形ABCD中，AB=BC=4，故以BC为直径的圆的半径r=BC/2=2。
3. 确定圆心角：当E在A点时，CE为AC，菱形中∠ABC=60°，△ABC为等边三角形，此时对应圆上一点；当E在B点时，CE为BC，此时G点与B重合。计算这两个端点与BC中点（圆心）的夹角，得圆心角为120°，即$\frac{2π}{3}$弧度。
4. 计算弧长：根据弧长公式$l=θr$（θ为弧度制圆心角），代入θ=$\frac{2π}{3}$，r=2，得$l=\frac{2π}{3}×2=\frac{4}{3}π$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}π$
【知识点】
圆周角定理、菱形性质、弧长计算
【点评】
本题核心是利用垂直关系和圆周角定理确定动点轨迹，再结合菱形性质计算弧长，需掌握轨迹判断和弧长公式，属于中等难度的几何动点问题。
【难度系数】
0.5

13. 如图,在正方形$ABCD$中,$AB=4$,$E$是$BC$的中点.以点$C$为圆心,$CE$长为半径画圆,$P$是$\odot C$上一动点,$F$是边$AD$上一动点,连接$AP$.若$Q$是$AP$的中点,连接$BF$、$FQ$,则$BF+FQ$的最小值为.

13. $2\sqrt{10}-1$

【分析】
要解决$BF+FQ$的最小值问题，可通过建立坐标系转化为几何最值问题：
1. 建立平面直角坐标系，确定正方形各顶点、E点及圆C的坐标，利用中点坐标公式推导动点Q的轨迹；
2. 利用对称变换将$BF$转化为对称线段，结合圆上点到定点的最短距离（定点到圆心的距离减半径），找到使线段和最小的共线情况，进而计算最小值。
【解析】
设平面直角坐标系：$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,4)$，$D(0,4)$，则E为BC中点，坐标为$(4,2)$，$\odot C$的方程为$(x-4)^2+(y-4)^2=4$。
因Q是AP中点，设$P(x,y)$，$Q(x_Q,y_Q)$，则$x_Q=\frac{x}{2}$，$y_Q=\frac{y}{2}$，代入$\odot C$方程得：$(2x_Q-4)^2+(2y_Q-4)^2=4$，化简得$(x_Q-2)^2+(y_Q-2)^2=1$，即Q的轨迹是圆心为$M(2,2)$、半径$r=1$的圆。
F在AD上，AD为$x=0$，设$F(0,f)$（$0≤f≤4$）。作B关于AD的对称点$B'(-4,0)$，则$BF=B'F$，故$BF+FQ=B'F+FQ$。
当$B'$、$F$、$Q$共线且Q在$B'M$线段上时，和最小，最小值为$B'M - r$。
计算$B'M$的距离：$\sqrt{(2-(-4))^2+(2-0)^2}=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}$，则最小值为$2\sqrt{10}-1$。
【答案】
$2\sqrt{10}-1$
【知识点】
正方形性质、圆的轨迹、最短路径问题
【点评】
本题结合正方形与圆的性质，通过中点坐标推导动点轨迹，利用对称变换转化线段和，是几何最值的典型应用，需掌握轨迹分析和最短路径的转化方法。
【难度系数】
0.4