16. 观察下列等式：
① $3^2 - 1^2 = 1 × 8$；② $5^2 - 3^2 = 2 × 8$；③ $7^2 - 5^2 = 3 × 8$；……
根据上述式子的规律，解答下列问题：
（1）第4个等式为 ______；
（2）写出第$n$个等式，并说明其正确性.

（1）$9^2 -7^2=4×8$；
（2）第$n$个等式为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2=8n$，证明如上。

1. 分析等式规律：
观察已知等式：
第1个等式：左边为$(2×1+1)^2 - (2×1-1)^2=3^2 -1^2$，右边为$1×8$；
第2个等式：左边为$(2×2+1)^2 - (2×2-1)^2=5^2 -3^2$，右边为$2×8$；
第3个等式：左边为$(2×3+1)^2 - (2×3-1)^2=7^2 -5^2$，右边为$3×8$；
（1）第4个等式，对应$n=4$，左边为$(2×4+1)^2 - (2×4-1)^2=9^2 -7^2$，右边为$4×8$，故第4个等式为$9^2 -7^2=4×8$；
（2）第$n$个等式为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2=8n$，证明：利用平方差公式$a^2 -b^2=(a-b)(a+b)$，左边$=(2n+1 - (2n-1))(2n+1 +2n -1)=2×4n=8n$，与右边相等，等式成立。

四、拓展题
17. 已知 $ x = 3^q $，$ y = 2^{p-1} $，$ z = 4^p · 27^q $（其中 $ p $、$ q $ 为整数），用 $ x $、$ y $ 表示 $ z $ 的代数式.

$z=4x^3y^2$

要将z用x、y表示，需利用幂的运算性质变形：
1. 对z分解底数：$z=4^p·27^q=(2^2)^p·(3^3)^q=2^{2p}·3^{3q}$；
2. 结合$x=3^q$，得$3^{3q}=(3^q)^3=x^3$；
3. 结合$y=2^{p-1}$，得$2^p=2·y$，故$2^{2p}=(2^p)^2=(2y)^2=4y^2$；
4. 代入z的表达式，得$z=4y^2·x^3=4x^3y^2$。