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5. 如图，$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC⊥ BC$，$AC=6$，$AB=10$，已知阴影部分为一个半圆，则图中阴影部分的面积是________.（结果用含$π$的式子表示）
答案
5.$8π$
解析
【分析】
要计算阴影部分半圆的面积，需先确定半圆的直径长度。观察图形可知半圆的直径为$\mathrm{Rt}△ ACB$的直角边$BC$，因此第一步先在直角三角形中，利用勾股定理，结合已知的$AC$和$AB$的长度求出$BC$的长；第二步根据$BC$的长得到半圆的半径；第三步代入半圆面积公式计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$AB=10$，根据勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
即阴影半圆的直径为8，因此半圆的半径$r=8÷2=4$
根据半圆面积公式$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r^2$，代入半径得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×π×4^2=\frac{1}{2}×π×16=8π$
【答案】
$8π$
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算
【点评】
本题是基础几何综合题，将直角三角形性质和圆的面积计算结合，解题核心是先求出半圆的直径，再代入公式计算，重点考查对基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算阴影部分半圆的面积，需先确定半圆的直径长度。观察图形可知半圆的直径为$\mathrm{Rt}△ ACB$的直角边$BC$，因此第一步先在直角三角形中，利用勾股定理，结合已知的$AC$和$AB$的长度求出$BC$的长；第二步根据$BC$的长得到半圆的半径；第三步代入半圆面积公式计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$AB=10$，根据勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
即阴影半圆的直径为8，因此半圆的半径$r=8÷2=4$
根据半圆面积公式$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r^2$，代入半径得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×π×4^2=\frac{1}{2}×π×16=8π$
【答案】
$8π$
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算
【点评】
本题是基础几何综合题，将直角三角形性质和圆的面积计算结合，解题核心是先求出半圆的直径，再代入公式计算，重点考查对基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.7
6.若直角三角形的三边长分别是1、2、x，则x的值是
$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$
.答案
6.$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先明确直角三角形中斜边是最长的边，已知三边长为1、2、x，因为1小于2，所以1不可能是斜边，因此斜边只能是2或者x，需要分两种情况结合勾股定理求解，同时注意三角形边长为正数，要舍去负的计算结果。
【解析】
解：
∵直角三角形的斜边为最长边，且1＜2，
∴1不可能为斜边，分两种情况讨论：
① 当长为2的边是斜边时，根据勾股定理：
$x^2 + 1^2 = 2^2$
整理得$x^2 = 4 - 1 = 3$
∵x为三角形边长，是正数，
∴$x = \sqrt{3}$；
② 当长为x的边是斜边时，根据勾股定理：
$x^2 = 1^2 + 2^2$
整理得$x^2 = 1 + 4 = 5$
∵x为正数，
∴$x = \sqrt{5}$。
综上，x的值为$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；直角三角形三边性质
【点评】
本题容易因忽略斜边的不确定性出现漏解，解题时先利用直角三角形斜边最长的性质排除不可能的情况，再分情况套用勾股定理计算，最后结合边长为正的要求舍去不合理的根即可得到正确结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确直角三角形中斜边是最长的边，已知三边长为1、2、x，因为1小于2，所以1不可能是斜边，因此斜边只能是2或者x，需要分两种情况结合勾股定理求解，同时注意三角形边长为正数，要舍去负的计算结果。
【解析】
解：
∵直角三角形的斜边为最长边，且1＜2，
∴1不可能为斜边，分两种情况讨论：
① 当长为2的边是斜边时，根据勾股定理：
$x^2 + 1^2 = 2^2$
整理得$x^2 = 4 - 1 = 3$
∵x为三角形边长，是正数，
∴$x = \sqrt{3}$；
② 当长为x的边是斜边时，根据勾股定理：
$x^2 = 1^2 + 2^2$
整理得$x^2 = 1 + 4 = 5$
∵x为正数，
∴$x = \sqrt{5}$。
综上，x的值为$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；直角三角形三边性质
【点评】
本题容易因忽略斜边的不确定性出现漏解，解题时先利用直角三角形斜边最长的性质排除不可能的情况，再分情况套用勾股定理计算，最后结合边长为正的要求舍去不合理的根即可得到正确结果。
【难度系数】
0.6
7. 如图，数轴上点A所表示的实数是
$\sqrt{5}$
.答案
7.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形：图中存在直角三角形，两条直角边的长度分别为2和1，且点A是用圆规以原点O为圆心、直角三角形斜边为半径画弧与数轴正半轴的交点，因此OA的长度等于直角三角形的斜边长。我们可以先借助勾股定理算出直角三角形的斜边长，再结合原点O的位置，就能得到点A表示的实数。
【解析】
1. 先计算直角三角形的斜边长：
直角三角形的两条直角边长度分别为2、1，根据勾股定理，斜边长 = $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$。
2. 由作图可知，OA的长度等于该直角三角形的斜边长，即$OA=\sqrt{5}$。
3. 因为原点O表示的数是0，点A在数轴正半轴上，所以点A表示的实数为$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，数轴表示实数，同圆半径相等
【点评】
本题是数轴与勾股定理结合的基础题型，解题的关键是抓住圆弧半径相等的隐含条件，将数轴上点对应的数值转化为线段长度进行计算，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形：图中存在直角三角形，两条直角边的长度分别为2和1，且点A是用圆规以原点O为圆心、直角三角形斜边为半径画弧与数轴正半轴的交点，因此OA的长度等于直角三角形的斜边长。我们可以先借助勾股定理算出直角三角形的斜边长，再结合原点O的位置，就能得到点A表示的实数。
【解析】
1. 先计算直角三角形的斜边长：
直角三角形的两条直角边长度分别为2、1，根据勾股定理，斜边长 = $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$。
2. 由作图可知，OA的长度等于该直角三角形的斜边长，即$OA=\sqrt{5}$。
3. 因为原点O表示的数是0，点A在数轴正半轴上，所以点A表示的实数为$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，数轴表示实数，同圆半径相等
【点评】
本题是数轴与勾股定理结合的基础题型，解题的关键是抓住圆弧半径相等的隐含条件，将数轴上点对应的数值转化为线段长度进行计算，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
8.在一次河流宽度测量活动中，小明操控一架无人机在河岸一侧的正上方20米处悬停.此时，无人机测得对岸岸边一石头的直线距离为52米，则这条河的宽度为________米.
答案
8.48
解析
【分析】
这是一道结合实际测量的几何应用问题，我们可以先将场景抽象为直角三角形模型：无人机距离河岸的竖直高度20米是直角三角形的一条直角边，无人机到对岸石头的直线距离52米是直角三角形的斜边，要求的河宽就是另一条水平的直角边，因此可通过勾股定理计算未知直角边的长度，得到河宽。
【解析】
设河的宽度为$ x $米，由题意可构造直角三角形，其中两条直角边分别为河宽$ x $、无人机竖直高度20米，斜边为无人机到石头的直线距离52米。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列等式：
$ x^2 + 20^2 = 52^2 $
移项计算得：
$ x^2 = 52^2 - 20^2 = 2704 - 400 = 2304 $
因为河宽为正数，所以$ x = \sqrt{2304} = 48 $
【答案】
48
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题将生活测量场景和几何知识结合，解题核心是准确从实际场景中抽象出直角三角形，找准各边对应的数值，再代入勾股定理计算即可，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
这是一道结合实际测量的几何应用问题，我们可以先将场景抽象为直角三角形模型：无人机距离河岸的竖直高度20米是直角三角形的一条直角边，无人机到对岸石头的直线距离52米是直角三角形的斜边，要求的河宽就是另一条水平的直角边，因此可通过勾股定理计算未知直角边的长度，得到河宽。
【解析】
设河的宽度为$ x $米，由题意可构造直角三角形，其中两条直角边分别为河宽$ x $、无人机竖直高度20米，斜边为无人机到石头的直线距离52米。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列等式：
$ x^2 + 20^2 = 52^2 $
移项计算得：
$ x^2 = 52^2 - 20^2 = 2704 - 400 = 2304 $
因为河宽为正数，所以$ x = \sqrt{2304} = 48 $
【答案】
48
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题将生活测量场景和几何知识结合，解题核心是准确从实际场景中抽象出直角三角形，找准各边对应的数值，再代入勾股定理计算即可，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
9. 一架2.5 m长的梯子斜立在一面竖直的墙上，这时梯子的下端距离墙底端0.7 m.
如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯子的下端将滑动
如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯子的下端将滑动
0.8
m.答案
9.0.8
解析
【分析】
本题为直角三角形的实际应用问题，核心解题依据是勾股定理，梯子长度始终作为直角三角形的斜边保持不变。解题思路如下：第一步，利用初始状态下梯子底端到墙的距离、梯子长度，通过勾股定理求出初始时梯子顶端的高度；第二步，计算顶端下滑0.4m后的剩余高度，再次利用勾股定理求出此时梯子底端到墙的距离；第三步，用新的底端距离减去初始的0.7m，即可得到梯子下端滑动的距离。
【解析】
设初始状态下梯子顶端距离地面的高度为$h_1$，墙与地面垂直，梯子、墙、地面构成直角三角形，由勾股定理得：
$h_1^2 + 0.7^2 = 2.5^2$
计算得：$h_1^2 = 2.5^2 - 0.7^2 = 6.25 - 0.49 = 5.76$
因为高度为正数，所以$h_1 = 2.4\ \mathrm{m}$
梯子顶端下滑0.4m后，顶端距离地面的高度为：$h_2 = 2.4 - 0.4 = 2\ \mathrm{m}$
设此时梯子底端距离墙底端的距离为$x$，再次由勾股定理得：
$x^2 + 2^2 = 2.5^2$
计算得：$x^2 = 2.5^2 - 2^2 = 6.25 - 4 = 2.25$
因为距离为正数，所以$x = 1.5\ \mathrm{m}$
则梯子下端滑动的距离为：$1.5 - 0.7 = 0.8\ \mathrm{m}$
【答案】
0.8
【知识点】
1. 勾股定理
2. 直角三角形的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型基础题，解题的关键是抓住梯子长度始终不变这一隐含条件，两次运用勾股定理计算对应边长即可，计算时注意边长需取非负的结果。
【难度系数】
0.8
本题为直角三角形的实际应用问题，核心解题依据是勾股定理，梯子长度始终作为直角三角形的斜边保持不变。解题思路如下：第一步，利用初始状态下梯子底端到墙的距离、梯子长度，通过勾股定理求出初始时梯子顶端的高度；第二步，计算顶端下滑0.4m后的剩余高度，再次利用勾股定理求出此时梯子底端到墙的距离；第三步，用新的底端距离减去初始的0.7m，即可得到梯子下端滑动的距离。
【解析】
设初始状态下梯子顶端距离地面的高度为$h_1$，墙与地面垂直，梯子、墙、地面构成直角三角形，由勾股定理得：
$h_1^2 + 0.7^2 = 2.5^2$
计算得：$h_1^2 = 2.5^2 - 0.7^2 = 6.25 - 0.49 = 5.76$
因为高度为正数，所以$h_1 = 2.4\ \mathrm{m}$
梯子顶端下滑0.4m后，顶端距离地面的高度为：$h_2 = 2.4 - 0.4 = 2\ \mathrm{m}$
设此时梯子底端距离墙底端的距离为$x$，再次由勾股定理得：
$x^2 + 2^2 = 2.5^2$
计算得：$x^2 = 2.5^2 - 2^2 = 6.25 - 4 = 2.25$
因为距离为正数，所以$x = 1.5\ \mathrm{m}$
则梯子下端滑动的距离为：$1.5 - 0.7 = 0.8\ \mathrm{m}$
【答案】
0.8
【知识点】
1. 勾股定理
2. 直角三角形的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型基础题，解题的关键是抓住梯子长度始终不变这一隐含条件，两次运用勾股定理计算对应边长即可，计算时注意边长需取非负的结果。
【难度系数】
0.8
10. 如图所示的是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，是用4个相同的直角三角形与一个正方形拼成一个大正方形，若大正方形的边长是13 cm，直角三角形较短的直角边的边长是5 cm，则图中小正方形的边长是
7
cm.答案
10.7
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：大正方形的边长等于直角三角形的斜边长，小正方形的边长等于直角三角形较长直角边与较短直角边的差。第一步先利用勾股定理求出直角三角形的较长直角边，第二步用较长直角边减去较短直角边即可得到小正方形的边长。
【解析】
解：已知大正方形的边长为13cm，即直角三角形的斜边长为13cm，
又已知直角三角形较短直角边长为5cm，根据勾股定理，直角三角形较长直角边的长度为：
$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$（cm）
观察图形可得，小正方形的边长 = 较长直角边长度 - 较短直角边长度，
即小正方形边长为 $12 - 5 = 7$（cm）
【答案】
7
【知识点】
勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为背景，考查勾股定理的应用，解题的关键是找到直角三角形的边长和大、小正方形边长的对应关系，题型基础，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：大正方形的边长等于直角三角形的斜边长，小正方形的边长等于直角三角形较长直角边与较短直角边的差。第一步先利用勾股定理求出直角三角形的较长直角边，第二步用较长直角边减去较短直角边即可得到小正方形的边长。
【解析】
解：已知大正方形的边长为13cm，即直角三角形的斜边长为13cm，
又已知直角三角形较短直角边长为5cm，根据勾股定理，直角三角形较长直角边的长度为：
$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$（cm）
观察图形可得，小正方形的边长 = 较长直角边长度 - 较短直角边长度，
即小正方形边长为 $12 - 5 = 7$（cm）
【答案】
7
【知识点】
勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为背景，考查勾股定理的应用，解题的关键是找到直角三角形的边长和大、小正方形边长的对应关系，题型基础，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
11. 如图，在铁路上A、B两点相距25 km，C、D为两个村庄，$DA⊥ AB$于A，$CB⊥ AB$于B，已知$DA=15\ \mathrm{km}$，$CB=10\ \mathrm{km}$. 现要在铁路AB上建一个货物中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少千米处？
答案
11.10km.
解析
【分析】
要使C、D两村到E站的距离相等，即满足DE=CE。观察图形可知△DAE和△CBE都是直角三角形，我们可以设E站离A站的距离为x km，那么E站离B站的距离就是(25-x)km，再根据勾股定理分别表示出DE²和CE²，利用DE=CE则二者平方相等的关系列方程求解即可。
【解析】
解：设E站应建在离A站x km处，则E站离B站的距离为(25-x)km。
∵DA⊥AB，CB⊥AB
∴∠A=∠B=90°，△DAE和△CBE均为直角三角形
根据勾股定理可得：
在Rt△DAE中，$DE^2=AD^2+AE^2=15^2+x^2$
在Rt△CBE中，$CE^2=BC^2+BE^2=10^2+(25-x)^2$
由题意得DE=CE，因此$DE^2=CE^2$，代入得：
$15^2+x^2=10^2+(25-x)^2$
展开计算：
$225+x^2=100+625-50x+x^2$
消去$x^2$后整理得：
$50x=500$
解得$x=10$
【答案】
10km
【知识点】
勾股定理、一元一次方程的应用、垂直的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是利用“距离相等”建立等量关系，通过勾股定理列方程求解，能很好地锻炼学生数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
要使C、D两村到E站的距离相等，即满足DE=CE。观察图形可知△DAE和△CBE都是直角三角形，我们可以设E站离A站的距离为x km，那么E站离B站的距离就是(25-x)km，再根据勾股定理分别表示出DE²和CE²，利用DE=CE则二者平方相等的关系列方程求解即可。
【解析】
解：设E站应建在离A站x km处，则E站离B站的距离为(25-x)km。
∵DA⊥AB，CB⊥AB
∴∠A=∠B=90°，△DAE和△CBE均为直角三角形
根据勾股定理可得：
在Rt△DAE中，$DE^2=AD^2+AE^2=15^2+x^2$
在Rt△CBE中，$CE^2=BC^2+BE^2=10^2+(25-x)^2$
由题意得DE=CE，因此$DE^2=CE^2$，代入得：
$15^2+x^2=10^2+(25-x)^2$
展开计算：
$225+x^2=100+625-50x+x^2$
消去$x^2$后整理得：
$50x=500$
解得$x=10$
【答案】
10km
【知识点】
勾股定理、一元一次方程的应用、垂直的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是利用“距离相等”建立等量关系，通过勾股定理列方程求解，能很好地锻炼学生数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
