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1. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（
A.8，15，17
B.4，5，6
C.5，8，10
D.8，39，40
A
）.A.8，15，17
B.4，5，6
C.5，8，10
D.8，39，40
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：首先明确直角三角形的三边满足勾股定理的逆定理：若三角形三边中，两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每个选项中的最长边，再计算另外两个边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则可组成直角三角形，逐个验证选项即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形，逐一验证选项：
选项A：最长边为17，计算得$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，即$8^2+15^2=17^2$，符合勾股定理逆定理，可以组成直角三角形。
选项B：最长边为6，计算得$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不符合，不能组成直角三角形。
选项C：最长边为10，计算得$5^2+8^2=25+64=89$，$10^2=100$，$89≠100$，不符合，不能组成直角三角形。
选项D：最长边为40，计算得$8^2+39^2=64+1521=1585$，$40^2=1600$，$1585≠1600$，不符合，不能组成直角三角形。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是熟练掌握勾股定理逆定理的内容，解题时注意先确定各组数中的最长边，再进行平方运算验证，计算时要细心避免出错。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：首先明确直角三角形的三边满足勾股定理的逆定理：若三角形三边中，两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每个选项中的最长边，再计算另外两个边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则可组成直角三角形，逐个验证选项即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形，逐一验证选项：
选项A：最长边为17，计算得$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，即$8^2+15^2=17^2$，符合勾股定理逆定理，可以组成直角三角形。
选项B：最长边为6，计算得$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不符合，不能组成直角三角形。
选项C：最长边为10，计算得$5^2+8^2=25+64=89$，$10^2=100$，$89≠100$，不符合，不能组成直角三角形。
选项D：最长边为40，计算得$8^2+39^2=64+1521=1585$，$40^2=1600$，$1585≠1600$，不符合，不能组成直角三角形。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是熟练掌握勾股定理逆定理的内容，解题时注意先确定各组数中的最长边，再进行平方运算验证，计算时要细心避免出错。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法正确的是（
A.真命题的逆命题也是真命题
B.假命题的逆命题也是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.每个命题都有逆命题
D
）.A.真命题的逆命题也是真命题
B.假命题的逆命题也是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.每个命题都有逆命题
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先要明确命题、逆命题、真假命题、定理、逆定理的核心概念，再通过举反例的方法逐一验证每个选项，排除错误选项，最终确定符合概念的正确选项。核心思路：①所有命题交换题设和结论都能得到逆命题；②真假命题的逆命题真假性和原命题没有必然关联；③只有定理的逆命题为真时，才存在逆定理。
【解析】
我们结合概念逐个分析选项：
A. 举反例：真命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，这是假命题，因此真命题的逆命题不一定是真命题，A错误。
B. 举反例：假命题“相等的角是对顶角”的逆命题是“对顶角相等”，这是真命题，因此假命题的逆命题不一定是假命题，B错误。
C. 定理是经过证明的真命题，只有当定理的逆命题也被证明为真命题时，才存在逆定理。比如“对顶角相等”是定理，它的逆命题是假命题，没有逆定理，因此不是每个定理都有逆定理，C错误。
D. 任意命题都可以通过交换题设和结论得到它的逆命题，因此每个命题都有逆命题，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.命题与逆命题
2.真假命题判定
3.定理与逆定理
【点评】
本题是命题相关的基础概念考查题，解题的核心是理清逆命题、逆定理的区别，掌握用举反例的方法快速判断命题的真假，不要混淆原命题和逆命题之间的真假关联性。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确命题、逆命题、真假命题、定理、逆定理的核心概念，再通过举反例的方法逐一验证每个选项，排除错误选项，最终确定符合概念的正确选项。核心思路：①所有命题交换题设和结论都能得到逆命题；②真假命题的逆命题真假性和原命题没有必然关联；③只有定理的逆命题为真时，才存在逆定理。
【解析】
我们结合概念逐个分析选项：
A. 举反例：真命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，这是假命题，因此真命题的逆命题不一定是真命题，A错误。
B. 举反例：假命题“相等的角是对顶角”的逆命题是“对顶角相等”，这是真命题，因此假命题的逆命题不一定是假命题，B错误。
C. 定理是经过证明的真命题，只有当定理的逆命题也被证明为真命题时，才存在逆定理。比如“对顶角相等”是定理，它的逆命题是假命题，没有逆定理，因此不是每个定理都有逆定理，C错误。
D. 任意命题都可以通过交换题设和结论得到它的逆命题，因此每个命题都有逆命题，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.命题与逆命题
2.真假命题判定
3.定理与逆定理
【点评】
本题是命题相关的基础概念考查题，解题的核心是理清逆命题、逆定理的区别，掌握用举反例的方法快速判断命题的真假，不要混淆原命题和逆命题之间的真假关联性。
【难度系数】
0.8
3. 命题“对顶角相等”的逆命题是
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
.答案
3.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
解析
【分析】
要得到一个命题的逆命题，首先需要把原命题改写为“如果……那么……”的标准形式，明确区分原命题的题设（如果后面的内容）和结论（那么后面的内容），再将题设和结论的位置互换，调整语句保证通顺即可。本题先拆分“对顶角相等”的题设和结论：题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，互换后整理就能得到逆命题。
【解析】
第一步，将原命题“对顶角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。由此可得原命题的题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”。
第二步，交换题设和结论的位置，调整语句表述通顺后得到逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。
【答案】
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【知识点】
1. 逆命题的改写
2. 命题的结构
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握命题的组成结构，能准确拆分原命题的题设和结论，改写时注意语句表述完整通顺即可。
【难度系数】
0.8
要得到一个命题的逆命题，首先需要把原命题改写为“如果……那么……”的标准形式，明确区分原命题的题设（如果后面的内容）和结论（那么后面的内容），再将题设和结论的位置互换，调整语句保证通顺即可。本题先拆分“对顶角相等”的题设和结论：题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，互换后整理就能得到逆命题。
【解析】
第一步，将原命题“对顶角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。由此可得原命题的题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”。
第二步，交换题设和结论的位置，调整语句表述通顺后得到逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。
【答案】
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【知识点】
1. 逆命题的改写
2. 命题的结构
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握命题的组成结构，能准确拆分原命题的题设和结论，改写时注意语句表述完整通顺即可。
【难度系数】
0.8
4. 在$△ ABC$中，若$AC^2+AB^2=BC^2$，则$∠ B+∠ C=$
$90°$
.答案
4.$90°$
解析
【分析】
解题时先从题干给出的边的平方关系入手，首先联想到勾股定理的逆定理，可判断△ABC为直角三角形；接下来明确勾股定理逆定理中，平方和等于第三边平方的两条边的夹角为直角，因此可确定BC边所对的∠A是直角；最后结合三角形内角和为180°，用内角和减去直角∠A的度数，即可求出∠B+∠C的和。
【解析】
解：
∵在△ABC中，$AC^2+AB^2=BC^2$，
∴根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且斜边为BC，
∴BC对应的内角∠A=90°，
∵三角形内角和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
∴$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查勾股定理逆定理的应用，解题时需要准确判断直角的位置，结合三角形内角和即可快速得出结果，要熟练掌握相关定理的适用条件。
【难度系数】
0.9
解题时先从题干给出的边的平方关系入手，首先联想到勾股定理的逆定理，可判断△ABC为直角三角形；接下来明确勾股定理逆定理中，平方和等于第三边平方的两条边的夹角为直角，因此可确定BC边所对的∠A是直角；最后结合三角形内角和为180°，用内角和减去直角∠A的度数，即可求出∠B+∠C的和。
【解析】
解：
∵在△ABC中，$AC^2+AB^2=BC^2$，
∴根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且斜边为BC，
∴BC对应的内角∠A=90°，
∵三角形内角和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
∴$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查勾股定理逆定理的应用，解题时需要准确判断直角的位置，结合三角形内角和即可快速得出结果，要熟练掌握相关定理的适用条件。
【难度系数】
0.9
5.木工师傅做一个长方形桌面，量得它的长为80厘米，宽为60厘米，对角线的长是100厘米，则这个桌面
合格
.（填“合格”或“不合格”）答案
5.合格
解析
【分析】要判断长方形桌面是否合格，核心是验证桌面的内角是否为直角（长方形的四个内角均为直角）。已知桌面的长、宽和对角线长度，三者恰好构成三角形的三边，可利用勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形，若为直角三角形则说明长与宽的夹角是直角，桌面合格，反之不合格。
【解析】首先计算长与宽的平方和：
$80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10000$
再计算对角线的平方：
$100^2 = 10000$
可得$80^2 + 60^2 = 100^2$，根据勾股定理的逆定理，长、宽、对角线构成的三角形是直角三角形，即长与宽的夹角为直角，符合长方形桌面的要求。
【答案】合格
【知识点】勾股定理的逆定理；长方形的判定
【点评】本题是勾股定理逆定理在实际生活中的简单应用，解题的关键是将实际问题转化为判断直角三角形的数学问题，通过计算验证三边的平方关系即可得出结论，解题思路清晰，容易理解。
【难度系数】0.9
【解析】首先计算长与宽的平方和：
$80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10000$
再计算对角线的平方：
$100^2 = 10000$
可得$80^2 + 60^2 = 100^2$，根据勾股定理的逆定理，长、宽、对角线构成的三角形是直角三角形，即长与宽的夹角为直角，符合长方形桌面的要求。
【答案】合格
【知识点】勾股定理的逆定理；长方形的判定
【点评】本题是勾股定理逆定理在实际生活中的简单应用，解题的关键是将实际问题转化为判断直角三角形的数学问题，通过计算验证三边的平方关系即可得出结论，解题思路清晰，容易理解。
【难度系数】0.9
6. 菱形的两条对角线的长分别是6 cm和8 cm,则这个菱形的面积是
$24\ \mathrm{cm}^2$
.答案
6.$24\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
拿到本题，已知菱形两条对角线的长度，要求菱形面积。首先回忆菱形的面积计算方法：除了通用的“底×高”的计算方法外，因为菱形的对角线互相垂直，可推导出菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，本题已知两条对角线的长度，直接代入该公式计算即可，比用底乘高更简便。
【解析】
解：菱形的面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$（$a$、$b$分别为菱形两条对角线的长度）。
由题可知，菱形两条对角线长分别为$6\ \mathrm{cm}$和$8\ \mathrm{cm}$，将数值代入公式：
$S=\frac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$24\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
菱形面积计算，菱形对角线的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查菱形面积特殊计算公式的应用，只要熟练掌握“对角线乘积的一半”的面积计算方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
拿到本题，已知菱形两条对角线的长度，要求菱形面积。首先回忆菱形的面积计算方法：除了通用的“底×高”的计算方法外，因为菱形的对角线互相垂直，可推导出菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，本题已知两条对角线的长度，直接代入该公式计算即可，比用底乘高更简便。
【解析】
解：菱形的面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$（$a$、$b$分别为菱形两条对角线的长度）。
由题可知，菱形两条对角线长分别为$6\ \mathrm{cm}$和$8\ \mathrm{cm}$，将数值代入公式：
$S=\frac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$24\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
菱形面积计算，菱形对角线的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查菱形面积特殊计算公式的应用，只要熟练掌握“对角线乘积的一半”的面积计算方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
7. 已知$△ ABC$的三边长分别是1，2，$\sqrt{5}$，则此三角形的面积是________.
答案
7.1
解析
【分析】
已知三角形的三边长求面积，首先可以通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先计算较短两边的平方和，再和最长边的平方对比，若二者相等则该三角形为直角三角形，之后直接用直角三角形的面积公式计算即可。
【解析】
首先计算三边的平方：
较短两边1、2的平方和为：$1^2+2^2=1+4=5$
最长边$\sqrt{5}$的平方为：$(\sqrt{5})^2=5$
可得$1^2+2^2=(\sqrt{5})^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且两条直角边长为1和2，斜边长为$\sqrt{5}$。
直角三角形面积为两条直角边乘积的一半，因此面积为：$\frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，只要先通过三边平方关系判断出三角形为直角三角形，即可快速代入公式算出面积。
【难度系数】
0.9
已知三角形的三边长求面积，首先可以通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先计算较短两边的平方和，再和最长边的平方对比，若二者相等则该三角形为直角三角形，之后直接用直角三角形的面积公式计算即可。
【解析】
首先计算三边的平方：
较短两边1、2的平方和为：$1^2+2^2=1+4=5$
最长边$\sqrt{5}$的平方为：$(\sqrt{5})^2=5$
可得$1^2+2^2=(\sqrt{5})^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且两条直角边长为1和2，斜边长为$\sqrt{5}$。
直角三角形面积为两条直角边乘积的一半，因此面积为：$\frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，只要先通过三边平方关系判断出三角形为直角三角形，即可快速代入公式算出面积。
【难度系数】
0.9
8. 如图，在矩形ABCD中，E是DC边上一点，将$△ ADE$沿直线AE翻折，得到$△ AFE$，若点F落在BC边上，且$BF=2FC$，则$\dfrac{AB}{BC}$的值是________。
答案
8.$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
解析
【分析】
遇到矩形折叠类问题，首先利用折叠的性质得到对应边相等：折叠后AF=AD。再结合矩形对边相等的性质，可得AF=BC。根据BF=2FC的条件，我们可以通过设参数的方法简化计算，设FC长度为x，即可表示出BF、BC、AF的长度，最后在Rt△ABF中用勾股定理求出AB的长度，就能计算出AB与BC的比值。
【解析】
解：设$FC=x$，
∵ $BF=2FC$，
∴ $BF=2x$，
∴ $BC=BF+FC=2x+x=3x$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD=BC=3x$，$∠ B=90°$，
∵ $△ ADE$沿直线AE翻折得到$△ AFE$，
∴ $AF=AD=3x$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2+BF^2=AF^2$，
代入数据得：$AB^2+(2x)^2=(3x)^2$，
整理得：$AB^2=9x^2-4x^2=5x^2$，
∵ 线段长度为正，
∴ $AB=\sqrt{5}x$，
∴ $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{5}x}{3x}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，通过设参数的方法把未知线段用参数表示，再结合勾股定理建立关系求解线段比值，合理设参数是简化计算的关键。
【难度系数】
0.7
遇到矩形折叠类问题，首先利用折叠的性质得到对应边相等：折叠后AF=AD。再结合矩形对边相等的性质，可得AF=BC。根据BF=2FC的条件，我们可以通过设参数的方法简化计算，设FC长度为x，即可表示出BF、BC、AF的长度，最后在Rt△ABF中用勾股定理求出AB的长度，就能计算出AB与BC的比值。
【解析】
解：设$FC=x$，
∵ $BF=2FC$，
∴ $BF=2x$，
∴ $BC=BF+FC=2x+x=3x$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD=BC=3x$，$∠ B=90°$，
∵ $△ ADE$沿直线AE翻折得到$△ AFE$，
∴ $AF=AD=3x$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2+BF^2=AF^2$，
代入数据得：$AB^2+(2x)^2=(3x)^2$，
整理得：$AB^2=9x^2-4x^2=5x^2$，
∵ 线段长度为正，
∴ $AB=\sqrt{5}x$，
∴ $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{5}x}{3x}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，通过设参数的方法把未知线段用参数表示，再结合勾股定理建立关系求解线段比值，合理设参数是简化计算的关键。
【难度系数】
0.7
