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9.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）.
（1）填空：线段AB=
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
（1）填空：线段AB=
$\sqrt{5}$
，BC=$2\sqrt{5}$
，AC=5
；（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
答案
9.(1) $\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 5$ (2) $△ ABC$为直角三角形，因为$AB^2+BC^2=AC^2$.
解析
【分析】
（1）求格点间的线段长度，可将线段看作直角三角形的斜边，以线段两端点的水平、竖直格距为直角边，用勾股定理计算即可。（2）判断三角形形状，可先计算三边的平方，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，结合勾股定理的逆定理即可判断。
【解析】
（1）已知每个小正方形边长为1，根据勾股定理：
线段AB的水平间隔为2，竖直间隔为1，因此$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；
线段BC的水平间隔为4，竖直间隔为2，因此$BC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
线段AC的水平间隔为4，竖直间隔为3，因此$AC=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
（2）$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
计算三边平方：$AB^2=(\sqrt{5})^2=5$，$BC^2=(2\sqrt{5})^2=20$，$AC^2=5^2=25$，
可得$AB^2+BC^2=5+20=25=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$为直角三角形。
【答案】
（1）$\sqrt{5}$，$2\sqrt{5}$，$5$；（2）$△ ABC$为直角三角形，理由为$AB^2+BC^2=AC^2$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格中三角形的基础计算问题，核心是对勾股定理及其逆定理的应用，掌握网格中线段长度的计算方法，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）求格点间的线段长度，可将线段看作直角三角形的斜边，以线段两端点的水平、竖直格距为直角边，用勾股定理计算即可。（2）判断三角形形状，可先计算三边的平方，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，结合勾股定理的逆定理即可判断。
【解析】
（1）已知每个小正方形边长为1，根据勾股定理：
线段AB的水平间隔为2，竖直间隔为1，因此$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；
线段BC的水平间隔为4，竖直间隔为2，因此$BC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
线段AC的水平间隔为4，竖直间隔为3，因此$AC=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
（2）$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
计算三边平方：$AB^2=(\sqrt{5})^2=5$，$BC^2=(2\sqrt{5})^2=20$，$AC^2=5^2=25$，
可得$AB^2+BC^2=5+20=25=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$为直角三角形。
【答案】
（1）$\sqrt{5}$，$2\sqrt{5}$，$5$；（2）$△ ABC$为直角三角形，理由为$AB^2+BC^2=AC^2$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格中三角形的基础计算问题，核心是对勾股定理及其逆定理的应用，掌握网格中线段长度的计算方法，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 如图，一张直角三角形形状的纸片，两直角边AC、BC的长分别为6 cm和8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，求CD的长.
答案
10.3.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度；2. 结合折叠的性质，得到折叠前后的对应边、对应角相等：AE=AC，CD=DE，∠AED=∠C=90°，进而求出BE的长度，且△DEB为直角三角形；3. 设CD的长为x，用含x的代数式表示DE、BD的长度，在Rt△DEB中根据勾股定理列方程求解即可得到CD的长。
【解析】
解：在Rt△ABC中，AC=6 cm，BC=8 cm，∠C=90°，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由折叠的性质可得△ACD≌△AED，因此：
$AE=AC=6\ \mathrm{cm}$，$CD=DE$，$∠ AED=∠ C=90°$，
则$∠ DEB=90°$，$BE=AB-AE=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
设$CD=x\ \mathrm{cm}$，则$DE=x\ \mathrm{cm}$，$BD=BC-CD=(8-x)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：$DE^2+BE^2=BD^2$，
代入得：$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开整理：$x^2+16=64-16x+x^2$，
消去$x^2$后移项得：$16x=48$，
解得$x=3$，即CD的长为3 cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
勾股定理、折叠的性质、方程思想
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，核心是结合折叠的全等性质转化相等的边和角，再利用勾股定理建立方程求解，体现了数形结合的解题思路，需要熟练掌握折叠前后对应量相等的规律以及勾股定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度；2. 结合折叠的性质，得到折叠前后的对应边、对应角相等：AE=AC，CD=DE，∠AED=∠C=90°，进而求出BE的长度，且△DEB为直角三角形；3. 设CD的长为x，用含x的代数式表示DE、BD的长度，在Rt△DEB中根据勾股定理列方程求解即可得到CD的长。
【解析】
解：在Rt△ABC中，AC=6 cm，BC=8 cm，∠C=90°，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由折叠的性质可得△ACD≌△AED，因此：
$AE=AC=6\ \mathrm{cm}$，$CD=DE$，$∠ AED=∠ C=90°$，
则$∠ DEB=90°$，$BE=AB-AE=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
设$CD=x\ \mathrm{cm}$，则$DE=x\ \mathrm{cm}$，$BD=BC-CD=(8-x)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：$DE^2+BE^2=BD^2$，
代入得：$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开整理：$x^2+16=64-16x+x^2$，
消去$x^2$后移项得：$16x=48$，
解得$x=3$，即CD的长为3 cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
勾股定理、折叠的性质、方程思想
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，核心是结合折叠的全等性质转化相等的边和角，再利用勾股定理建立方程求解，体现了数形结合的解题思路，需要熟练掌握折叠前后对应量相等的规律以及勾股定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在$△ ABC$中，边$AB$的垂直平分线分别交边$AC$，$AB$于点$D$，$E$，$AD=5$，$CD=3$，$BC=4$.
（1）求证：$∠ C=90°$；
（2）求线段$AB$的长度.
（1）求证：$∠ C=90°$；
（2）求线段$AB$的长度.
答案
11. (1)略. (2) $4\sqrt{5}$.
解析
【分析】
（1）要证明∠C=90°，可通过勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形。首先利用线段垂直平分线的性质得到BD=AD，再结合已知CD、BC的长度，验证△BCD的三边满足勾股定理的逆定理即可。
（2）求AB的长度时，先求出AC的总长度，再结合（1）得到的直角，在Rt△ABC中用勾股定理计算即可得到AB的长度。
【解析】
（1）证明：连接BD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD = AD = 5，
在△BCD中，已知CD=3，BC=4，
∵$CD^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$BD^2 = 5^2 = 25$，
∴$CD^2 + BC^2 = BD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，且∠C=90°。
（2）解：
∵AC = AD + CD = 5 + 3 = 8，
由（1）可知∠C=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$，
∵AB为线段长度，取正值，
∴$AB = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$4\sqrt{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是合理连接辅助线BD，结合垂直平分线的性质得到相等的线段，再利用勾股定理及其逆定理完成推导和计算，解题思路比较常规。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠C=90°，可通过勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形。首先利用线段垂直平分线的性质得到BD=AD，再结合已知CD、BC的长度，验证△BCD的三边满足勾股定理的逆定理即可。
（2）求AB的长度时，先求出AC的总长度，再结合（1）得到的直角，在Rt△ABC中用勾股定理计算即可得到AB的长度。
【解析】
（1）证明：连接BD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD = AD = 5，
在△BCD中，已知CD=3，BC=4，
∵$CD^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$BD^2 = 5^2 = 25$，
∴$CD^2 + BC^2 = BD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，且∠C=90°。
（2）解：
∵AC = AD + CD = 5 + 3 = 8，
由（1）可知∠C=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$，
∵AB为线段长度，取正值，
∴$AB = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$4\sqrt{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是合理连接辅助线BD，结合垂直平分线的性质得到相等的线段，再利用勾股定理及其逆定理完成推导和计算，解题思路比较常规。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=12，CD=3，DA=4，BC=13. 求四边形ABCD的面积.
答案
12. 36（提示：连接AC，在Rt△ADC中，AD=4，DC=3，由勾股定理可知AC=5，又AB=12，BC=13，由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形）.
解析
【分析】
本题是不规则四边形求面积的问题，无法直接套用公式计算，因此考虑添加辅助线将其转化为规则图形求解：首先连接对角线AC，将四边形分割为△ADC和△ABC两个三角形。已知△ADC是直角三角形，可先通过勾股定理求出AC的长度，再根据△ABC三边的长度关系，用勾股定理的逆定理判断其是否为直角三角形，最后将两个三角形的面积相加即可得到四边形的面积。
【解析】
解：连接AC，
在Rt△ADC中，∠D=90°，AD=4，CD=3，
由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，
∴$AC=5$（边长为正数）。
在△ABC中，$AC=5$，$AB=12$，$BC=13$，
∵$AC^2+AB^2=25+12^2=25+144=169$，$BC^2=13^2=169$，
∴$AC^2+AB^2=BC^2$，
由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。
∴四边形ABCD的面积为两个直角三角形的面积和：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}$
$=\frac{1}{2}× AD× CD + \frac{1}{2}× AC× AB$
$=\frac{1}{2}×4×3 + \frac{1}{2}×5×12$
$=6+30=36$
【答案】
36
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题的解题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，既考查了勾股定理求边长的应用，也考查了勾股定理逆定理判断直角三角形的方法，要求学生具备一定的图形转化思维。
【难度系数】
0.7
本题是不规则四边形求面积的问题，无法直接套用公式计算，因此考虑添加辅助线将其转化为规则图形求解：首先连接对角线AC，将四边形分割为△ADC和△ABC两个三角形。已知△ADC是直角三角形，可先通过勾股定理求出AC的长度，再根据△ABC三边的长度关系，用勾股定理的逆定理判断其是否为直角三角形，最后将两个三角形的面积相加即可得到四边形的面积。
【解析】
解：连接AC，
在Rt△ADC中，∠D=90°，AD=4，CD=3，
由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，
∴$AC=5$（边长为正数）。
在△ABC中，$AC=5$，$AB=12$，$BC=13$，
∵$AC^2+AB^2=25+12^2=25+144=169$，$BC^2=13^2=169$，
∴$AC^2+AB^2=BC^2$，
由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。
∴四边形ABCD的面积为两个直角三角形的面积和：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}$
$=\frac{1}{2}× AD× CD + \frac{1}{2}× AC× AB$
$=\frac{1}{2}×4×3 + \frac{1}{2}×5×12$
$=6+30=36$
【答案】
36
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题的解题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，既考查了勾股定理求边长的应用，也考查了勾股定理逆定理判断直角三角形的方法，要求学生具备一定的图形转化思维。
【难度系数】
0.7
